Questões de Problemas matriciais — tabelas de associação e matrizes

Bruno não está em Compras nem no Protocolo, então está no Arquivo. Ana não está no Arquivo e não pode estar em Compras, porque quem está lá é mais velho que ela (ninguém é mais velho que si mesmo): Ana está no Protocolo. Sobra Compras para Carla. Assim, (A), (B), (C) e (E) contrariam essa distribuição.

Cada elemento de A·B é a linha de A vezes a coluna de B. Linha 1: (1·0 + 2·1, 1·1 + 2·0) = (2, 1). Linha 2: (3·0 + 4·1, 3·1 + 4·0) = (4, 3). Multiplicar por B à direita troca as colunas de A. (B) é B·A, que troca as linhas, e mostra que o produto de matrizes não é comutativo. (C) multiplica elemento a elemento, e (D) é a transposta de A.

Em matriz 2×2, det = (diagonal principal) − (diagonal secundária) = 2·4 − 3·1 = 8 − 3 = 5. Somar as diagonais dá 11 (B); inverter a subtração dá −5 (C); 8 (D) é só a diagonal principal; e 6 (E) é a soma dos elementos da primeira linha com o 1 da segunda.

O produto A · B existe quando o número de colunas de A (3) é igual ao número de linhas de B (3), e o resultado tem as linhas de A e as colunas de B: 2 × 4. Ordens diferentes não impedem o produto (E); (A), (C) e (D) não seguem a regra.

Lia não está em Recife nem em Belém: está em Curitiba. Mauro não está em Belém nem em Curitiba (ocupada por Lia): está em Recife. Sobra Belém para Nei. As demais alternativas contrariam essa associação.

Errado. O produto A·B só existe quando o número de colunas de A é igual ao de linhas de B. Com matrizes 2×3, tem-se 3 colunas e 2 linhas, condição não atendida.

Certo. A multiplicação é possível porque a primeira matriz tem 3 colunas e a segunda, 3 linhas. O resultado herda as linhas da primeira e as colunas da segunda, formando matriz 2×4.

Errado. Em geral, A·B é diferente de B·A, e às vezes um dos produtos sequer está definido. A comutatividade pode ocorrer em casos específicos, mas não é propriedade geral do produto de matrizes.

Certo. A soma ocorre elemento a elemento, de modo que cada posição de uma matriz precisa ter correspondente na outra. Por isso, as duas matrizes precisam ter a mesma ordem.

Certo. Na notação aᵢⱼ, o primeiro índice indica a linha e o segundo, a coluna. Portanto, o elemento a₂₃ localiza-se na segunda linha e na terceira coluna da matriz A.

Certo. Na transposta, as linhas passam a ser colunas: a matriz original tem 2 linhas e 3 colunas, de modo que o resultado fica com 3 linhas e 2 colunas.

Errado. Em matriz 2×2, o determinante é o produto da diagonal principal menos o da secundária: 1·4 − 2·3 = 4 − 6 = −2, valor diferente do indicado no enunciado.

Certo. O determinante da matriz 2×2 subtrai o produto da diagonal secundária do produto da principal: 2·3 − 1·4 = 6 − 4 = 2, exatamente o resultado afirmado no item.

Errado. Na matriz identidade, apenas a diagonal principal é preenchida com 1, e os demais elementos valem 0; por isso a afirmação de que todos são iguais a 1 não procede.

Certo. A matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação de matrizes, com 1 na diagonal principal e 0 fora dela, de modo que A·I reproduz cada elemento de A.

O determinante de matriz 2 × 2 é o produto da diagonal principal menos o da secundária: 1 × 4 − 2 × 3 = 4 − 6 = −2. A alternativa "2" é a armadilha do sinal, pois 2 resulta de fazer a subtração na ordem contrária.