Problemas matriciais — tabelas de associação e matrizes

Problemas de associação

Há dois ou mais grupos (pessoas, setores, cidades) e cada elemento de um grupo corresponde a um só elemento do outro. Método:

1. Montar a tabela: um grupo nas linhas, o outro nas colunas.
2. Marcar as pistas diretas: "sim" (✔) e "não" (X).
3. Cada "sim" elimina o resto da linha e da coluna.
4. Linha ou coluna com uma única casa livre recebe "sim".
5. Repetir até fechar a tabela.

Ex.: Lia, Mauro e Nei trabalham em Curitiba, Recife e Belém, um em cada cidade. Lia não trabalha em Recife nem em Belém. Mauro não trabalha em Belém.

1. Lia: X em Recife e em Belém. Sobra Curitiba: ✔.
2. Curitiba está ocupada: X para Mauro e Nei.
3. Mauro: X em Belém e em Curitiba. Sobra Recife: ✔.
4. Nei fica com Belém.

Pistas indiretas

Algumas pistas não nomeiam a pessoa; comparam alguém com "quem" tem certo atributo. A comparação mostra que são pessoas diferentes.

Ex.: Ana, Bruno e Carla trabalham em Protocolo, Arquivo e Compras. Ana não trabalha no Arquivo. Quem trabalha em Compras é mais velho que Ana. Bruno não trabalha em Compras nem no Protocolo.

1. Bruno: só resta o Arquivo.
2. Ana não está em Compras: quem está lá é mais velho que ela, logo é outra pessoa. Também não está no Arquivo. Ana está no Protocolo.
3. Carla fica com Compras.

Matriz: ordem e elementos

Matriz é uma tabela de números em linhas e colunas. A ordem m × n indica m linhas e n colunas. Em $a_{ij}$, o primeiro índice é a linha e o segundo é a coluna. A matriz quadrada tem o mesmo número de linhas e colunas; sua diagonal principal reúne os elementos em que i = j.

Ex.: M = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]], escrita linha a linha.

1. Ordem: 2 linhas e 3 colunas, 2 × 3.
2. $a_{23}$: linha 2, coluna 3 = 6.
3. $a_{12}$: linha 1, coluna 2 = 2.

Matriz definida por lei de formação

O item pode dar uma fórmula para $a_{ij}$ em vez dos números. Calcula-se cada elemento trocando i e j pela posição.

Ex.: matriz 2 × 2 com $a_{ij}$ = 2i − j.

1. $a_{11}$ = 2·1 − 1 = 1; $a_{12}$ = 2·1 − 2 = 0.
2. $a_{21}$ = 2·2 − 1 = 3; $a_{22}$ = 2·2 − 2 = 2.
3. Matriz: [[1, 0], [3, 2]].

Soma, multiplicação por número e transposta

A soma exige matrizes de mesma ordem e se faz elemento a elemento. Multiplicar a matriz por um número multiplica todos os elementos. A transposta troca linhas por colunas: a matriz m × n vira n × m.

Ex.: A = [[1, 2], [3, 4]] e B = [[0, 1], [1, 0]].

1. A + B = [[1 + 0, 2 + 1], [3 + 1, 4 + 0]] = [[1, 3], [4, 4]].
2. 3·A = [[3, 6], [9, 12]].
3. Transposta de [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]: [[1, 4], [2, 5], [3, 6]].

Produto de matrizes

A·B só existe se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. O resultado tem o número de linhas de A e o de colunas de B. Cada elemento do produto é a linha de A vezes a coluna de B: multiplicam-se os elementos correspondentes e somam-se os resultados.

Ex.: A é 2 × 3 e B é 3 × 4.

1. Colunas de A (3) = linhas de B (3): o produto existe.
2. Ordem do resultado: 2 × 4.
3. B·A não existe: colunas de B (4) ≠ linhas de A (2).

Ex.: A = [[1, 2], [3, 4]] e B = [[0, 1], [1, 0]].

1. Linha 1 de A: (1·0 + 2·1, 1·1 + 2·0) = (2, 1).
2. Linha 2 de A: (3·0 + 4·1, 3·1 + 4·0) = (4, 3).
3. A·B = [[2, 1], [4, 3]].
4. Na ordem inversa, B·A = [[3, 4], [1, 2]]: resultado diferente.

Matriz identidade

É a matriz quadrada com 1 na diagonal principal e 0 nas outras posições. Funciona como o número 1 da multiplicação: A·I = I·A = A.

Ex.: a identidade de ordem 2 é [[1, 0], [0, 1]]. Multiplicada por [[1, 2], [3, 4]], em qualquer ordem, devolve [[1, 2], [3, 4]].

Determinante de ordem 2

Só a matriz quadrada tem determinante. Na matriz [[a, b], [c, d]], det = a·d − b·c: produto da diagonal principal menos produto da diagonal secundária.

Ex.: det [[2, 3], [1, 4]].

1. Diagonal principal: 2·4 = 8.
2. Diagonal secundária: 3·1 = 3.
3. det = 8 − 3 = 5.

Matriz como tabela de dados

Problemas aplicados usam a matriz como tabela e o produto como "quantidade vezes preço".

Ex.: a matriz [[10, 20], [30, 40]] dá, por posto (linhas), as quantidades de dois tipos de formulário (colunas). Os custos unitários são 2 e 3 reais, na coluna [[2], [3]].

1. Posto 1: 10·2 + 20·3 = 80.
2. Posto 2: 30·2 + 40·3 = 180.
3. Produto: [[80], [180]], o gasto de cada posto.