Mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum
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Para revisar
Resumo
Essência. MMC: eventos que voltam a coincidir. MDC: dividir em partes iguais do maior tamanho possível.
Pegadinha. O número de pedaços não é o MDC: divida cada total pelo MDC e some.
Para revisar.
- Primos entre si têm MDC 1 e MMC igual ao produto.
- Exemplo: revisões a cada 12 e 18 dias voltam a coincidir em 36 dias.
- Exemplo: lotes de 84 e 126 geram pacotes de 42, ou seja, 2 + 3 = 5 pacotes.
- MMC(12, 18): 2² · 3² = 36
- MDC(48, 72): 2³ · 3 = 24
- Relação: MMC(a, b) · MDC(a, b) = a · b
- Fatore cada número em primos. No MMC, use todos os fatores com o maior expoente. No MDC, só os comuns com o menor expoente.
- Exemplo: MMC(6, 8) = 24 e MMC(4, 6, 10) = 60.
- Se um número é múltiplo do outro, o MMC é o maior deles.
- O MMC também é usado para somar frações.
- A palavra coincidir, em problema, costuma indicar MMC.
Visão geral
Fatore cada número em primos. No MMC, use todos os fatores com o maior expoente. No MDC, só os comuns com o menor expoente.
Regra
Ver íntegra
| Exemplo | Conta |
|---|---|
| MMC(12, 18) | 2² · 3² = 36 |
| MDC(48, 72) | 2³ · 3 = 24 |
| Relação | MMC(a, b) · MDC(a, b) = a · b |
Pontos-chave
- Primos entre si têm MDC 1 e MMC igual ao produto.
- Exemplo: revisões a cada 12 e 18 dias voltam a coincidir em 36 dias.
- Exemplo: lotes de 84 e 126 geram pacotes de 42, ou seja, 2 + 3 = 5 pacotes.
Como a banca cobra
- "Coincidências periódicas se resolvem por MDC." → errado: MMC.
- A banca usa rondas, alarmes e escalas que coincidem: voltam a coincidir no MMC dos intervalos, e não na soma ou no produto automático deles.
Referência
Fontes consultadas (1)
Mapa mental
MMC(12, 18)
- 2² · 3² = 36
MDC(48, 72)
- 2³ · 3 = 24
Relação
- MMC(a, b) · MDC(a, b) = a · b
Quando usar MMC
- ⚠️ "Coincidir": MMC dos intervalos
- Múltiplo do outro: MMC é o maior
- Soma de frações
Questão 1, TJ-SP, Múltipla escolha
Dois equipamentos passam por revisão a cada 12 e a cada 18 dias. Revisados juntos hoje, voltarão a ser revisados juntos em
- A)
6 dias.
- B)
36 dias.
- C)
30 dias.
- D)
72 dias.
- E)
216 dias.
Revelar gabarito
Gabarito: letra B
O próximo encontro das revisões é dado pelo mínimo múltiplo comum, e MMC(12, 18) = 36 dias. O valor 6 é tentador, porém é o MDC, que indica o maior divisor comum, e não a coincidência.
- A)
Questão 2, TJ-SP, Múltipla escolha
Duas peças de 48 m e 72 m serão cortadas em partes iguais, do maior tamanho possível, sem sobra. Cada parte medirá
- A)
6 m.
- B)
12 m.
- C)
16 m.
- D)
24 m.
- E)
36 m.
Revelar gabarito
Gabarito: letra D
O maior tamanho possível, sem sobra, é dado pelo máximo divisor comum, e MDC(48, 72) = 24 metros. O valor 12 atrai, pois também divide os dois comprimentos, mas não é o maior divisor.
- A)
Questão 3, TJ-SP, Múltipla escolha
Dois lotes com 84 e 126 processos serão divididos em pacotes iguais, com o maior número possível de processos em cada um. O número total de pacotes será
- A)
- B)
- C)
- D)
- E)
Revelar gabarito
Gabarito: letra D
O maior número de processos por pacote é MDC(84, 126) = 42, o que dá 84 ÷ 42 = 2 e 126 ÷ 42 = 3 pacotes, total de 5. O valor 42 atrai, mas é o tamanho do pacote.
- A)
Questão 4, TJ-SP, Múltipla escolha
Três impressoras do fórum passam por revisão a cada 12, 18 e 30 dias, respectivamente. Se as três foram revisadas hoje, voltarão a ser revisadas juntas daqui a
- A)
6 dias
- B)
60 dias
- C)
90 dias
- D)
180 dias
- E)
360 dias
Revelar gabarito
Gabarito: letra D
O primeiro reencontro de ciclos é o mínimo múltiplo comum: mmc(12, 18, 30) = 180. A distratora 6 é o máximo divisor comum, que serve para repartir em partes iguais, não para encontrar coincidência futura.
- A)
Questão 5, TJ-SP, Múltipla escolha
Um escrevente vai separar 84 autos cíveis e 126 criminais em pacotes com a mesma quantidade, a maior possível, sem misturar os tipos. O número total de pacotes será
- A)
5
- B)
6
- C)
7
- D)
14
- E)
42
Revelar gabarito
Gabarito: letra A
A maior quantidade comum por pacote é mdc(84, 126) = 42; assim, 84 ÷ 42 = 2 e 126 ÷ 42 = 3, total de 5 pacotes. A distratora 42 é o tamanho de cada pacote, não a quantidade deles.
- A)
- Revelar resposta
Quando usar MMC e MDC?
MMC: coincidências periódicas. MDC: divisão no maior tamanho igual.
- Revelar resposta
Eventos periódicos coincidem de novo em quanto tempo?
No mmc dos períodos.
- Revelar resposta
Repartir em partes iguais e máximas usa mmc ou mdc?
mdc; número de partes = soma das divisões de cada total pelo mdc.
- Revelar resposta
Relação entre mmc, mdc e produto?
mmc(a,b) × mdc(a,b) = a × b.
- Revelar resposta
Como calcular o MMC pela fatoração?
Multiplicam-se os fatores primos, cada um com seu maior expoente.
- Revelar resposta
MMC(8, 12)?
24: 2³ · 3.
- Revelar resposta
MMC(9, 15)?
45: 3² · 5.
- Revelar resposta
MMC(10, 15, 20)?
60: 2² · 3 · 5.
- Revelar resposta
MMC(7, 11)?
77: primos entre si, MMC é o produto.
- Revelar resposta
MMC(6, 18)?
18: um é múltiplo do outro.
- Revelar resposta
Alarmes de 20 e 30 min coincidem em?
60 min: MMC(20, 30).
- Revelar resposta
Folgas a cada 4 e 6 dias coincidem em?
12 dias: MMC(4, 6).
- Revelar resposta
Sirenes de 12, 15 e 20 s coincidem em?
60 s: MMC(12, 15, 20).
- Revelar resposta
MMC de 2³·3 e 2²·5?
120: 2³ · 3 · 5.
- Revelar resposta
Menor número divisível por 2, 3, 4 e 5?
60: MMC(2, 3, 4, 5).
- Revelar resposta
1/6 + 1/8 = ?
7/24: MMC(6, 8) = 24.
- Revelar resposta
Rondas de 40 e 50 min saem 8h; coincidem?
11h20: MMC = 200 min.
- Revelar resposta
Revisões a cada 12 e 16 dias coincidem em?
48 dias: MMC(12, 16).
- Revelar resposta
MMC de números primos entre si?
O produto deles.
- Revelar resposta
Menor número >1 com resto 1 por 6 e 8?
25: MMC(6, 8) + 1.
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