Determinantes
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Para revisar
Resumo
Ordem 2. det [a b; c d] = ad − bc.
Ordem 3 (Sarrus). Soma dos produtos das diagonais principais menos a soma dos produtos das secundárias.
Propriedades.
- Fila nula, duas filas iguais ou proporcionais: determinante zero.
- Multiplicar uma fila por k: determinante multiplicado por k.
- Matriz inteira por k, em ordem n: determinante multiplicado por kⁿ.
- Trocar duas filas paralelas: troca o sinal.
- det(Aᵀ) = det(A).
- det(AB) = det(A) × det(B).
- det(A⁻¹) = 1 / det(A).
Inversa. A matriz é invertível quando det ≠ 0. Se o determinante é zero, ela não tem inversa, e o sistema linear associado não tem solução única.
Como usar na prova. Antes de calcular, procure filas iguais, proporcionais ou nulas, porque a resposta já é zero. Em seguida, veja se o enunciado alterou uma só fila ou a matriz inteira: uma fila multiplica por k, e a matriz inteira, por k elevado à ordem.
Visão geral
| Operação | Efeito no det |
|---|---|
| Uma fila × k | × k |
| Matriz × k (ordem n) | × kⁿ |
| Troca de filas | Muda o sinal |
| Filas proporcionais | Zero |
Regra
Ver íntegra
kA em ordem n: k elevado a n.
Pontos-chave
- Transposição não altera o determinante.
- Determinante do produto é produto dos determinantes.
- Det zero: sem inversa.
Como a Cesgranrio cobra
Exemplos autorais, no formato da banca.
- "Se det A = 2, em ordem 3, det(2A) = 4." → errada: 2³ × 2 = 16.
- "Duas linhas iguais anulam o determinante." → correta.
Referência
Fontes consultadas (1)
Mapa mental
Cálculo
- Ordem 2: ad − bc
- Ordem 3: Sarrus
Zero
- Fila nula
- Filas iguais ou proporcionais
Efeitos
- Fila × k: × k
- ⚠️ Matriz × k: × k^n
- Troca de filas: sinal
Produto e inversa
- det(AB) = detA × detB
- det(A⁻¹) = 1/detA
Questão 1, Múltipla escolha
O determinante da matriz [3 1; 2 4] é:
- A)
14
- B)
10
- C)
12
- D)
2
- E)
5
Revelar gabarito
Gabarito: letra B
Na matriz de ordem 2, o determinante é ad − bc: 3 × 4 − 1 × 2 = 12 − 2 = 10. A opção 14 é armadilha, pois soma os produtos das diagonais em vez de subtraí-los.
- A)
Questão 2, Múltipla escolha
O determinante da matriz [1 2 3; 0 1 4; 5 6 0] é:
- A)
1
- B)
−1
- C)
0
- D)
24
- E)
39
Revelar gabarito
Gabarito: letra A
Por Laplace na primeira linha: 1(0 − 24) − 2(0 − 20) + 3(0 − 5) = −24 + 40 − 15 = 1. A opção −1 é a mais tentadora, surgindo de um erro de sinal em algum cofator.
- A)
Questão 3, Múltipla escolha
Uma matriz tem determinante 5. Multiplicando-se uma de suas linhas por 3, o novo determinante é:
- A)
5
- B)
8
- C)
45
- D)
125
- E)
15
Revelar gabarito
Gabarito: letra E
Multiplicar uma única linha por k multiplica o determinante por k, então o novo valor é 5 × 3 = 15. A opção 45 é armadilha, pois aplicaria o fator como se atingisse mais de uma fila.
- A)
Questão 4, Múltipla escolha
Se A é matriz de ordem 3 com det A = 2, então det(2A) é:
- A)
4
- B)
6
- C)
8
- D)
16
- E)
32
Revelar gabarito
Gabarito: letra D
Multiplicar toda a matriz de ordem n por k multiplica o determinante por kⁿ, então det(2A) = 2³ × 2 = 16. A opção 4 é a pegadinha indicada no tópico, pois dobra o determinante uma só vez.
- A)
Questão 5, Múltipla escolha
Em matriz quadrada com duas linhas proporcionais, o determinante é:
- A)
igual a 1
- B)
igual à constante de proporcionalidade
- C)
nulo
- D)
igual ao traço
- E)
igual ao produto da diagonal
Revelar gabarito
Gabarito: letra C
Linhas proporcionais tornam as filas dependentes, e o determinante é nulo sem necessidade de cálculo. Igualar o resultado à constante de proporcionalidade é a distratora mais tentadora, mas essa constante não determina o valor nessa propriedade.
- A)
- Revelar resposta
Determinante de ordem 2
ad − bc.
- Revelar resposta
Determinante de ordem 3
Sarrus ou desenvolvimento pela primeira linha.
- Revelar resposta
Uma fila multiplicada por k
O determinante fica multiplicado por k.
- Revelar resposta
det(kA) em ordem n
kⁿ × det A.
- Revelar resposta
Filas proporcionais
Determinante zero.
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