Matrizes
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Para revisar
Resumo
Matriz. Tabela de m linhas e n colunas. O elemento aᵢⱼ está na linha i e na coluna j.
Soma. Só entre matrizes da mesma ordem, elemento a elemento.
Produto. A(m×n) · B(n×p) existe quando o número de colunas de A é igual ao de linhas de B. O resultado é m×p. O elemento cᵢⱼ é a soma dos produtos da linha i de A pela coluna j de B.
Não comutatividade. Em geral, AB ≠ BA.
Identidade. Diagonal principal de 1 e demais zeros. AI = IA = A.
Transposta. Troca linhas por colunas: de m×n passa a n×m.
Inversa. A·A⁻¹ = I. Só existe em matriz quadrada com determinante diferente de zero.
Como usar na prova. Confira primeiro as ordens: se o produto não existir, a conta nem começa. Quando a questão pede um único elemento do produto, calcule só a linha e a coluna indicadas.
Visão geral
| Operação | Condição |
|---|---|
| Soma | Mesma ordem |
| Produto AB | Colunas de A = linhas de B |
| Inversa | Quadrada, det ≠ 0 |
Regra
Ver íntegra
Produto: linha da primeira vezes coluna da segunda.
Pontos-chave
- A ordem importa no produto.
- Resultado do produto: linhas da primeira, colunas da segunda.
- Transposta inverte a ordem da matriz.
Como a Cesgranrio cobra
Exemplos autorais, no formato da banca.
- "Toda multiplicação de matrizes é comutativa." → errada.
- "A transposta de matriz 2×3 é 3×2." → correta.
Referência
Fontes consultadas (1)
Mapa mental
Definição
- m linhas, n colunas
Soma
- Mesma ordem
Produto
- ⚠️ Colunas de A = linhas de B
- Resultado m×p
- AB ≠ BA
Especiais
- Identidade
- Transposta troca linhas e colunas
- Inversa exige det ≠ 0
Questão 1, Múltipla escolha
Se A é matriz 2×3 e B é matriz 3×4, o produto AB:
- A)
não existe
- B)
é 3×3
- C)
é 2×4
- D)
é 4×2
- E)
é 3×4
Revelar gabarito
Gabarito: letra C
O produto existe porque A tem 3 colunas e B tem 3 linhas, e o resultado herda as linhas de A e as colunas de B: 2×4. A opção 3×3 é tentadora, mas usa os números que devem coincidir.
- A)
Questão 2, Múltipla escolha
Dadas A = [1 2; 3 4] e B = [2 0; 1 3], o elemento da 2ª linha e 1ª coluna de AB é:
- A)
4
- B)
6
- C)
12
- D)
10
- E)
7
Revelar gabarito
Gabarito: letra D
O elemento pedido é a linha 2 de A multiplicada pela coluna 1 de B: 3 × 2 + 4 × 1 = 10. A opção 6 considera apenas o primeiro produto e esquece a segunda parcela da soma.
- A)
Questão 3, Múltipla escolha
A transposta de uma matriz de ordem 2×3 tem ordem:
- A)
3×2
- B)
2×3
- C)
3×3
- D)
2×2
- E)
6×1
Revelar gabarito
Gabarito: letra A
A transposta troca linhas por colunas, portanto uma matriz 2×3 passa a ter ordem 3×2. A opção 2×3 é a distratora direta, pois mantém a ordem original, justamente o que a transposição altera nesse caso.
- A)
Questão 4, Múltipla escolha
A respeito da multiplicação de matrizes quadradas de mesma ordem, é correto afirmar que:
- A)
AB = BA sempre
- B)
AI = A, sendo I a matriz identidade
- C)
AB = 0 implica A = 0
- D)
a identidade é nula fora da primeira linha
- E)
só é possível em ordem 2
Revelar gabarito
Gabarito: letra B
A matriz identidade é neutra na multiplicação, por isso AI = A. A opção AB = BA sempre é a pegadinha indicada no tópico, já que o produto de matrizes não é comutativo em geral.
- A)
Questão 5, Múltipla escolha
A matriz A = (aᵢⱼ), 2×2, tem aᵢⱼ = 2i − j. A soma de todos os seus elementos é:
- A)
4
- B)
5
- C)
7
- D)
8
- E)
6
Revelar gabarito
Gabarito: letra E
Com aᵢⱼ = 2i − j, obtêm-se a₁₁ = 1, a₁₂ = 0, a₂₁ = 3 e a₂₂ = 2, cuja soma é 6. A opção 4 resulta de somar só parte dos elementos da matriz.
- A)
- Revelar resposta
Ordem do produto AB
Linhas de A por colunas de B.
- Revelar resposta
Elemento do produto
Soma dos produtos da linha de A pela coluna de B.
- Revelar resposta
Transposta
Troca linhas por colunas: m×n vira n×m.
- Revelar resposta
Matriz identidade
AI = IA = A.
- Revelar resposta
Lei de formação aᵢⱼ
Substituir i (linha) e j (coluna).
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