Matemática Financeira

Valor do dinheiro no tempo, capitalização e equivalência

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Para revisar

Resumo

Valor do dinheiro no tempo. Quantias em datas diferentes só se comparam levadas à mesma data. Com taxa positiva, R$ 1,00 hoje vale mais que R$ 1,00 no futuro.

Capitalização. No regime simples, os juros incidem só sobre o capital inicial. No composto, os juros entram no capital e passam a render.

Valor presente e futuro. Em capitalização composta, VF = VP × (1 + i)^n e VP = VF / (1 + i)^n.

Taxas proporcionais. Comparam-se por divisão ou multiplicação simples: 12% ao ano é proporcional a 1% ao mês.

Taxas equivalentes. Produzem o mesmo montante no mesmo prazo, em regime composto: (1 + iₐ) = (1 + iₘ)^12.

Fluxo de caixa. Série de entradas e saídas em datas definidas. Dois fluxos são equivalentes, a uma dada taxa, quando têm o mesmo valor em uma mesma data.

Visão geral

Conceito	Conta
Valor futuro	VP × (1 + i)^n
Valor presente	VF / (1 + i)^n
Equivalência	(1 + i₁)^n₁ = (1 + i₂)^n₂

Regra

Ver íntegra

Só se somam ou comparam valores na mesma data.

Pontos-chave

Em um único período, simples e composto coincidem.
Proporcional não é equivalente em regime composto.
Taxa e prazo devem estar na mesma unidade.

Como a Cesgranrio cobra

Exemplos autorais, no formato da banca.

"1% ao mês equivale a 12% ao ano em juros compostos." → errada: equivale a cerca de 12,68%.
"Em um único período, simples e composto dão o mesmo montante." → correta.

Referência

Fontes consultadas (2)

Mapa mental

Tempo
- Comparar na mesma data
Capitalização
- Simples: sobre o capital
- Composta: juro sobre juro
Fórmulas
- VF = VP × (1 + i)^n
- VP = VF / (1 + i)^n
Taxas
- Proporcional: divide
- ⚠️ Equivalente: potência

Questão 1, Múltipla escolha
O princípio do valor do dinheiro no tempo afirma que R$ 1.000,00 disponíveis hoje valem mais que R$ 1.000,00 a receber daqui a um ano porque:
1. A)
  o valor disponível hoje pode ser aplicado e render juros até a data futura
2. B)
  a moeda futura deixa de ter curso legal
3. C)
  os juros só existem em operações de crédito
4. D)
  o valor nominal da moeda cai a zero em um ano
5. E)
  o capital presente não sofre efeito de nenhuma taxa
Revelar gabarito
Gabarito: letra A
Quem tem o dinheiro hoje pode aplicá-lo; por isso, valores em datas diferentes só se comparam depois de levados à mesma data.
Questão 2, Múltipla escolha
No regime em que os juros de cada período são incorporados ao capital e passam a render juros no período seguinte, a capitalização é:
1. A)
  simples
2. B)
  composta
3. C)
  linear
4. D)
  proporcional
5. E)
  nominal
Revelar gabarito
Gabarito: letra B
Na capitalização composta, os juros de cada período entram no capital e passam a render, gerando juros sobre juros. A capitalização simples é a distratora direta, pois nela os juros incidem sempre sobre o capital inicial, sem essa incorporação.
Questão 3, Múltipla escolha
O valor presente de R$ 1.100,00 a receber em 1 mês, com taxa de 10% ao mês, é:
1. A)
  R$ 990,00
2. B)
  R$ 1.010,00
3. C)
  R$ 1.100,00
4. D)
  R$ 1.000,00
5. E)
  R$ 1.210,00
Revelar gabarito
Gabarito: letra D
Para trazer o valor à data atual, divide-se pelo fator: VP = 1.100 ÷ 1,10 = 1.000. R$ 1.210,00 é armadilha, pois multiplica por 1,10, levando o valor para o futuro em vez de trazê-lo ao presente.
Questão 4, Múltipla escolha
Dois capitais, em datas diferentes, são equivalentes, a uma dada taxa, quando:
1. A)
  têm sempre o mesmo valor nominal, independentemente da data
2. B)
  vencem na mesma data, independentemente da taxa
3. C)
  o maior deles vence primeiro
4. D)
  a diferença entre eles é igual à taxa
5. E)
  levados à mesma data por essa taxa, têm o mesmo valor
Revelar gabarito
Gabarito: letra E
A equivalência exige comparar os capitais em uma mesma data, usando a taxa considerada; se os valores resultantes coincidem, eles são equivalentes. Ter o mesmo valor nominal não basta, porque quantias em datas distintas não são diretamente comparáveis.
Questão 5, Múltipla escolha
Um produto custa R$ 2.000,00 à vista ou R$ 2.200,00 em pagamento único após 1 mês. Para o comprador cuja taxa de aplicação é de 8% ao mês, a melhor opção é:
1. A)
  à vista, pois R$ 2.200,00 em 1 mês valem hoje cerca de R$ 2.037,04, mais que R$ 2.000,00
2. B)
  a prazo, pois R$ 2.200,00 em 1 mês valem hoje cerca de R$ 1.963,00, menos que R$ 2.000,00
3. C)
  a prazo, pois a taxa de aplicação supera a taxa embutida
4. D)
  indiferente, pois as duas têm o mesmo valor presente
5. E)
  à vista, pois o valor futuro de R$ 2.000,00 a 8% é R$ 2.400,00
Revelar gabarito
Gabarito: letra A
VP da parcela = 2.200 ÷ 1,08 = 2.037,04. Pagar R$ 2.000,00 hoje custa menos. A taxa embutida (10%) supera os 8% da aplicação.

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