Matemática Financeira

Descontos: comercial simples e racional composto

2 min de leitura8 questões

Para revisar

Resumo

Ideia. O desconto é a diferença entre o valor nominal N de um título (o valor de resgate, no vencimento) e o valor atual A (o valor pago antes do vencimento). D = N − A.

Desconto comercial simples (bancário). A taxa incide sobre o valor nominal: D = N · d · n, e A = N · (1 − d · n). Para um título de R$ 10.000, a 3% ao mês por 2 meses, o desconto é R$ 600 e o valor atual é R$ 9.400.

Desconto racional composto. Considera a taxa sobre o valor atual, com capitalização composta: A = N / (1 + i)^n. Para N = R$ 1.210, a 10% ao ano por 2 anos, o valor atual é R$ 1.000.

Taxa efetiva. A taxa de desconto comercial é maior que a taxa de juro efetivamente paga, porque incide sobre N e não sobre o valor atual. Com N = 100 e d = 10% por 1 mês, o valor atual é 90 e a taxa efetiva é 10/90, cerca de 11,1% ao mês.

Comparação. Para a mesma taxa e o mesmo prazo, o desconto comercial simples é maior que o racional simples.

Pegadinha Cesgranrio. Em desconto comercial, a base de cálculo é o valor nominal. Quem lê "valor líquido" deve calcular N − D, e não o desconto.

Visão geral

Tipo	Fórmula do valor atual
Comercial simples	A = N · (1 − d · n)
Racional composto	A = N / (1 + i)^n
Desconto	D = N − A
Base do comercial	Valor nominal
Base do racional	Valor atual

Regra

Ver íntegra

O desconto comercial incide sobre o valor nominal, e o racional, sobre o valor atual.

Pontos-chave

D = N − A.
Comercial simples: N·d·n.
Racional composto: divide por (1+i)^n.
Taxa efetiva supera a taxa de desconto comercial.

Como a Cesgranrio cobra

Exemplos autorais, no formato da banca.

"No desconto comercial, a taxa incide sobre o valor atual do título." → errada: incide sobre o valor nominal.

Referência

Fontes consultadas (2)

Mapa mental

Conceitos
- Valor nominal N
- Valor atual A
- D = N menos A
Comercial simples
- D = N d n
- ⚠️ Base: valor nominal
Racional composto
- A = N sobre (1+i)^n
Taxa efetiva
- Maior que a taxa de desconto

Questão 1, Múltipla escolha
Um título de R$ 10.000,00 é descontado 2 meses antes do vencimento, em desconto comercial simples, à taxa de 3% ao mês. O desconto é:
1. A)
  R$ 300,00
2. B)
  R$ 500,00
3. C)
  R$ 600,00
4. D)
  R$ 609,00
5. E)
  R$ 900,00
Revelar gabarito
Gabarito: letra C
No desconto comercial simples, D = N · d · n, então 10.000 · 0,03 · 2 = R$ 600,00. A opção R$ 300,00 considera apenas um mês, enquanto o enunciado informa que o título foi descontado dois meses antes do vencimento.
Questão 2, Múltipla escolha
No desconto racional composto à taxa de 10% ao ano, o valor atual de um título de R$ 1.210,00 com vencimento em 2 anos é:
1. A)
  R$ 900,00
2. B)
  R$ 968,00
3. C)
  R$ 1.000,00
4. D)
  R$ 1.100,00
5. E)
  R$ 1.089,00
Revelar gabarito
Gabarito: letra C
No desconto racional composto, A = N / (1 + i)^n, então 1.210 / 1,1² = R$ 1.000,00. A opção R$ 1.100,00 corresponde a descontar somente um ano, sem considerar os dois períodos indicados no enunciado da questão.
Questão 3, Múltipla escolha
Um título de R$ 5.000,00 é descontado 5 meses antes do vencimento, em desconto comercial simples de 2% ao mês. O valor líquido recebido é:
1. A)
  R$ 4.500,00
2. B)
  R$ 4.600,00
3. C)
  R$ 4.750,00
4. D)
  R$ 4.900,00
5. E)
  R$ 5.500,00
Revelar gabarito
Gabarito: letra A
O desconto é D = 5.000 · 0,02 · 5 = R$ 500,00, e o valor líquido é A = N − D = R$ 4.500,00. A opção R$ 5.500,00 soma o desconto ao valor nominal, quando ele deve ser subtraído.
Questão 4, Múltipla escolha
No desconto comercial simples, a taxa de desconto incide sobre:
1. A)
  o valor atual
2. B)
  o valor nominal
3. C)
  o juro
4. D)
  a taxa efetiva
5. E)
  o prazo médio
Revelar gabarito
Gabarito: letra B
No desconto comercial simples, a taxa incide sobre o valor nominal, isto é, o valor de resgate no vencimento. O valor atual é a distração, pois serve de base para o desconto racional, e não para o comercial.
Questão 5, Múltipla escolha
Um título de R$ 100,00 é descontado 1 mês antes do vencimento, em desconto comercial simples à taxa de 10% ao mês. A taxa efetiva mensal da operação, aproximadamente, é:
1. A)
  9,1%
2. B)
  10,0%
3. C)
  10,5%
4. D)
  11,1%
5. E)
  12,0%
Revelar gabarito
Gabarito: letra D
Com N = 100 e d = 10%, o valor atual é 90, e a taxa efetiva é 10/90, cerca de 11,1% ao mês. A opção 10,0% ignora que os juros incidem sobre o valor recebido, que é menor.

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