Progressões aritméticas e geométricas
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Resumo
Sequência. É uma lista ordenada de termos. Pode ser dada pela lei de formação em função da posição (a_n = 3n + 1) ou de forma recursiva, em função de termos anteriores (a_n = a_(n−1) + 4).
Progressão aritmética (PA). Cada termo é o anterior somado a uma razão r constante. O termo geral é a_n = a_1 + (n − 1) · r. A soma dos n primeiros termos é S_n = (a_1 + a_n) · n / 2. Com a_1 = 3 e r = 4, o décimo termo é 3 + 36 = 39 e a soma dos dez primeiros é (3 + 39) · 10 / 2 = 210.
Progressão geométrica (PG). Cada termo é o anterior multiplicado por uma razão q constante. O termo geral é a_n = a_1 · q^(n − 1). A soma dos n primeiros termos, com q diferente de 1, é S_n = a_1 · (q^n − 1) / (q − 1). Com a_1 = 2 e q = 3, o quinto termo é 162 e a soma dos quatro primeiros é 2 · 80 / 2 = 80.
PG infinita. Se |q| é menor que 1, a soma de todos os termos converge para a_1 / (1 − q). Com a_1 = 6 e q = 1/2, a soma é 12.
Ligação com finanças. Juros simples geram PA (o montante cresce uma parcela fixa por período), e juros compostos geram PG (o montante é multiplicado por 1 + i a cada período).
Pegadinha Cesgranrio. Na PA soma-se uma constante, na PG multiplica-se. A soma infinita só existe se o módulo da razão for menor que 1.
Visão geral
| Progressão | Termo geral |
|---|---|
| PA | a_n = a_1 + (n − 1) · r |
| Soma da PA | (a_1 + a_n) · n / 2 |
| PG | a_n = a_1 · q^(n − 1) |
| Soma da PG | a_1 · (q^n − 1) / (q − 1) |
| PG infinita | a_1 / (1 − q), com |
Regra
Ver íntegra
Juros simples formam PA, e juros compostos formam PG.
Pontos-chave
- PA soma uma razão; PG multiplica.
- Soma infinita exige |q| < 1.
- Juros simples = PA; compostos = PG.
- Recursiva usa termos anteriores.
Como a Cesgranrio cobra
Exemplos autorais, no formato da banca.
- "A soma infinita de uma PG com razão 2 converge." → errada: |q| precisa ser menor que 1.
Referência
Fontes consultadas (2)
Mapa mental
Sequências
- Lei de formação
- Recursiva
PA
- Soma a razão r
- a_n = a_1 + (n-1) r
- Soma: (a_1 + a_n) n / 2
PG
- Multiplica por q
- a_n = a_1 q^(n-1)
- ⚠️ Infinita: |q| menor que 1
Finanças
- Simples = PA
- Composto = PG
Questão 1, Múltipla escolha
O décimo termo de uma PA com primeiro termo 3 e razão 4 é:
- A)
35
- B)
37
- C)
39
- D)
41
- E)
43
Revelar gabarito
Gabarito: letra C
Pelo termo geral, a_10 = 3 + (10 − 1) · 4 = 3 + 36 = 39. A opção 43 multiplica a razão por dez, erro comum de esquecer que do primeiro ao décimo termo existem apenas nove intervalos.
- A)
Questão 2, Múltipla escolha
A soma dos 10 primeiros termos da PA com primeiro termo 3 e razão 4 é:
- A)
190
- B)
200
- C)
210
- D)
220
- E)
230
Revelar gabarito
Gabarito: letra C
A soma da PA é S = (a_1 + a_n) · n / 2, com a_10 = 39: (3 + 39) · 10 / 2 = 210. A distração 220 surge ao errar o último termo, usado antes de aplicar a fórmula da soma.
- A)
Questão 3, Múltipla escolha
O quinto termo de uma PG com primeiro termo 2 e razão 3 é:
- A)
54
- B)
81
- C)
162
- D)
243
- E)
486
Revelar gabarito
Gabarito: letra C
Pelo termo geral da PG, a_5 = 2 · 3⁴ = 2 · 81 = 162. A opção 486 usa expoente 5 em vez de 4, erro comum de não subtrair uma unidade da posição do termo procurado.
- A)
Questão 4, Múltipla escolha
A soma dos 4 primeiros termos da PG com primeiro termo 2 e razão 3 é:
- A)
26
- B)
54
- C)
80
- D)
81
- E)
162
Revelar gabarito
Gabarito: letra C
A soma da PG é S = a_1 · (q^n − 1)/(q − 1): 2 · (81 − 1) / 2 = 80, conferida por 2 + 6 + 18 + 54. A opção 81 confunde a soma com a potência 3⁴ usada na fórmula.
- A)
Questão 5, Múltipla escolha
A soma de todos os termos da PG infinita com primeiro termo 6 e razão 1/2 é:
- A)
6
- B)
9
- C)
10
- D)
12
- E)
18
Revelar gabarito
Gabarito: letra D
Como o módulo da razão é menor que 1, a soma infinita converge para a_1 / (1 − q): 6 / (1 − 1/2) = 12. A opção 6 considera apenas o primeiro termo da sequência, sem somar os demais.
- A)
- Revelar resposta
Termo geral da PA
a_n = a_1 + (n − 1) · r.
- Revelar resposta
Soma da PA
S_n = (a_1 + a_n) · n / 2.
- Revelar resposta
Termo geral da PG
a_n = a_1 · q^(n − 1).
- Revelar resposta
Soma da PG infinita
a_1 / (1 − q), se |q| < 1.
- Revelar resposta
Juros simples e compostos
Simples formam PA; compostos formam PG.
- Revelar resposta
Termo geral da PA
a_n = a_1 + (n−1)r.
- Revelar resposta
Soma da PA
(a_1 + a_n)·n/2.
- Revelar resposta
Termo geral da PG
a_n = a_1·q^(n−1).
- Revelar resposta
Lei de formação
Substitua n pela posição.
- Revelar resposta
Juros e progressões
Simples: PA. Compostos: PG.
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