Probabilidade: Laplace, produto, condicional e binomial
2 min de leitura21 questões
Cai no edital de Caixa Econômica Federal, Receita Federal, Receita Federal
Para revisar
Resumo
Espaço amostral e evento. O espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento aleatório. Evento é um subconjunto dele.
Laplace. Em espaços equiprováveis, P(A) é o número de casos favoráveis dividido pelo número de casos possíveis. Num dado honesto, a chance de sair par maior que 2 é 2/6 (os resultados 4 e 6), ou seja, 1/3. Em espaços não equiprováveis, soma-se a probabilidade de cada resultado do evento.
Complementar. P(não A) = 1 − P(A).
União. P(A ou B) = P(A) + P(B) − P(A e B).
Condicional. P(A dado B) = P(A e B) dividido por P(B), com P(B) maior que zero.
Teorema do produto. P(A e B) = P(A) · P(B dado A). Numa urna com 3 bolas vermelhas e 2 azuis, sem reposição, a chance de duas vermelhas é 3/5 · 2/4 = 3/10.
Independência. A e B são independentes quando P(A e B) = P(A) · P(B), e então P(A dado B) = P(A). Com P(A) = 0,4 e P(B) = 0,5, a interseção vale 0,2.
Binomial. Em n tentativas independentes, cada uma com probabilidade p de sucesso, P(exatamente k sucessos) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^(n − k). Em 3 lançamentos de moeda honesta, duas caras ocorrem com probabilidade 3/8.
Pegadinha Cesgranrio. Eventos mutuamente exclusivos não são independentes: se um ocorre, o outro não pode ocorrer.
Visão geral
| Conceito | Fórmula |
|---|---|
| Laplace | Favoráveis / possíveis |
| Complementar | 1 − P(A) |
| Condicional | P(A e B) / P(B) |
| Independência | P(A e B) = P(A) · P(B) |
| Binomial | C(n,k) · p^k · (1−p)^(n−k) |
Regra
Ver íntegra
Sem reposição os eventos deixam de ser independentes, e a probabilidade usa o espaço reduzido.
Pontos-chave
- Laplace só vale se os resultados são equiprováveis.
- Sem reposição: probabilidade condicional.
- Independentes: multiplica as probabilidades.
- Binomial exige tentativas independentes e p constante.
Como a Cesgranrio cobra
Exemplos autorais, no formato da banca.
- "Dois eventos mutuamente exclusivos de probabilidade positiva são independentes." → errada.
Referência
Fontes consultadas (2)
Mapa mental
Laplace
- Favoráveis sobre possíveis
- Espaço equiprovável
Regras
- Complementar
- União
Condicional e produto
- P(A e B) sobre P(B)
- Sem reposição
Independência
- Multiplica
- ⚠️ Exclusivos não são independentes
Binomial
- C(n,k) p^k q^(n-k)
Questão 1, Caixa Econômica Federal, Múltipla escolha
Ao lançar um dado honesto, a probabilidade de obter um número par maior que 2 é:
- A)
1/6
- B)
1/3
- C)
1/2
- D)
2/3
- E)
5/6
Revelar gabarito
Gabarito: letra B
Pelos casos favoráveis sobre os possíveis, os resultados pares maiores que 2 são 4 e 6, então P = 2/6 = 1/3. A opção 1/2 considera todos os pares, ignorando a exigência de serem maiores que 2.
- A)
Questão 2, Caixa Econômica Federal, Múltipla escolha
Lançando-se duas moedas honestas, a probabilidade de saírem duas caras é:
- A)
1/8
- B)
1/4
- C)
1/3
- D)
1/2
- E)
3/4
Revelar gabarito
Gabarito: letra B
Os lançamentos são independentes, então P = 1/2 · 1/2 = 1/4. A opção 1/2 corresponde à chance de cara em uma única moeda, sem multiplicar pela probabilidade da segunda moeda também apresentar cara no lançamento.
- A)
Questão 3, Caixa Econômica Federal, Múltipla escolha
Uma urna tem 3 bolas vermelhas e 2 azuis. Retirando duas bolas sem reposição, a probabilidade de ambas serem vermelhas é:
- A)
1/5
- B)
3/10
- C)
2/5
- D)
9/25
- E)
3/5
Revelar gabarito
Gabarito: letra B
Sem reposição, pelo teorema do produto, P = 3/5 · 2/4 = 6/20 = 3/10. A opção 9/25 calcula como se houvesse reposição, multiplicando 3/5 por 3/5, sem reduzir a quantidade de bolas na urna.
- A)
Questão 4, Caixa Econômica Federal, Múltipla escolha
Se A e B são independentes, com P(A) = 0,4 e P(B) = 0,5, então P(A e B) é:
- A)
0,1
- B)
0,2
- C)
0,45
- D)
0,7
- E)
0,9
Revelar gabarito
Gabarito: letra B
Em eventos independentes, P(A e B) = P(A) · P(B), logo 0,4 · 0,5 = 0,2. A opção 0,9 soma as probabilidades, operação que não calcula a interseção entre os dois eventos apresentados no enunciado.
- A)
Questão 5, Caixa Econômica Federal, Múltipla escolha
Lançando-se uma moeda honesta 3 vezes, a probabilidade de saírem exatamente 2 caras é:
- A)
1/8
- B)
1/4
- C)
3/8
- D)
1/2
- E)
5/8
Revelar gabarito
Gabarito: letra C
Pela binomial, P = C(3,2) · (1/2)³ = 3 · 1/8 = 3/8. A opção 1/8 considera apenas uma sequência específica, sem contar as três ordens possíveis em que podem aparecer exatamente duas caras nos lançamentos.
- A)
- Revelar resposta
Probabilidade de Laplace
Casos favoráveis divididos pelos casos possíveis, em espaço equiprovável.
- Revelar resposta
Probabilidade condicional
P(A e B) dividido por P(B).
- Revelar resposta
Eventos independentes
P(A e B) = P(A) · P(B).
- Revelar resposta
Probabilidade complementar
1 menos P(A).
- Revelar resposta
Binomial
C(n,k) · p^k · (1−p)^(n−k).
- Revelar resposta
Laplace
Favoráveis / possíveis.
- Revelar resposta
Complementar
1 − P(A).
- Revelar resposta
União
P(A)+P(B)−P(A e B).
- Revelar resposta
Condicional
P(A e B) / P(B).
- Revelar resposta
Condicional com independência
P(A dado B) = P(A).
- Revelar resposta
Exclusivos x independentes
Exclusivos não são independentes.
- Revelar resposta
Sem reposição
Espaço reduzido na segunda retirada.
- Revelar resposta
Laplace em dado
Favoráveis / 6.
- Revelar resposta
Binomial n=2
C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k).
- Revelar resposta
Binomial com k=n
p^n.
- Revelar resposta
Binomial n=4
C(4,2)·(1/2)⁴.
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