Diagramas lógicos e quantificadores (todo, algum, nenhum)

As quatro proposições categóricas

• Universal afirmativa: todo A é B.
• Universal negativa: nenhum A é B.
• Particular afirmativa: algum A é B.
• Particular negativa: algum A não é B.

Em lógica, "algum" significa "pelo menos um". Não exclui que sejam todos.

Ex.: se todos os dez servidores do setor são concursados, a frase "algum servidor do setor é concursado" é verdadeira.

Todo A é B

O conjunto A está contido em B. Não se pode inverter: de "todo A é B" não sai "todo B é A". Sai, porém, a contrapositiva: quem não é B não é A.

Ex.: "Todos os analistas são servidores".

1. Desenho: o círculo dos analistas dentro do círculo dos servidores.
2. Quem está fora do círculo maior está fora do menor: quem não é servidor não é analista.
3. Pode haver servidor fora do círculo dos analistas: "todo servidor é analista" não se conclui.

Nenhum A é B

Os conjuntos são disjuntos: círculos separados. A relação é simétrica: "nenhum A é B" equivale a "nenhum B é A".

Ex.: "Nenhum fiscal é motorista" equivale a "nenhum motorista é fiscal".

Algum A é B e algum A não é B

"Algum A é B" afirma que a interseção tem pelo menos um elemento; é simétrica: "algum B é A". "Algum A não é B" afirma que há elemento de A fora de B; não é simétrica. Nenhuma das duas informa sobre o restante dos conjuntos: de "algum A é B" não se conclui "algum A não é B".

Ex.: de "algum servidor é motorista" conclui-se "algum motorista é servidor". Não se conclui "algum servidor não é motorista": pode ser que todos sejam.

Negação das proposições categóricas

A negação é a frase que basta para desmentir a original. Universal e particular trocam de lugar, e a qualidade (afirmar ou negar) se inverte:

• "Todo A é B" ↔ "Algum A não é B".
• "Nenhum A é B" ↔ "Algum A é B".

"Todo" e "nenhum" não se negam um ao outro: as duas frases podem ser falsas ao mesmo tempo.

Ex.: negar "Todo servidor é concursado".

1. Para desmentir, basta um servidor não concursado.
2. Negação: "Algum servidor não é concursado" (ou "pelo menos um servidor não é concursado", "nem todo servidor é concursado").
3. "Nenhum servidor é concursado" exige demais: se metade for concursada, a original e essa frase são ambas falsas.

Como testar uma conclusão

1. Desenhar primeiro as premissas universais ("todo", "nenhum"), que fixam a posição dos conjuntos.
2. Desenhar as particulares ("algum") em todas as posições que as premissas permitem.
3. A conclusão é válida se for verdadeira em todos os desenhos. Um desenho em que ela falha basta para invalidá-la.

Ex.: "Todos os analistas são servidores. Alguns servidores são motoristas." Conclui-se que alguns analistas são motoristas?

1. Analistas dentro de servidores.
2. Os motoristas cruzam o círculo dos servidores. Podem cruzar na parte que tem analistas ou na parte que não tem.
3. Há um desenho em que nenhum motorista é analista. A conclusão não é necessária.

Silogismos que fecham

Quando o termo comum liga um "todo" a um "nenhum", ou um "algum" a um universal que contém a interseção, a conclusão é garantida.

Ex.: "Nenhum fiscal é motorista. Todo inspetor é fiscal."

1. Fiscais e motoristas: círculos separados.
2. Inspetores dentro de fiscais; logo, também separados dos motoristas.
3. Conclusão: nenhum inspetor é motorista.

Ex.: "Nenhum documento sigiloso é público. Alguns relatórios são sigilosos."

1. Sigilosos e públicos: separados.
2. Há relatórios dentro dos sigilosos; esses estão fora dos públicos.
3. Conclusão: alguns relatórios não são públicos. "Nenhum relatório é público" não se conclui: pode haver relatório não sigiloso e público.

Diagrama para contar elementos

Com quantidades, o diagrama de dois conjuntos se preenche de dentro para fora: primeiro a interseção, depois o que é só de cada conjunto, por fim o que fica fora dos dois.

Ex.: de 80 servidores, 40 falam inglês, 30 falam espanhol e 10 falam as duas línguas.

1. Só inglês: 40 − 10 = 30. Só espanhol: 30 − 10 = 20.
2. Pelo menos uma: 30 + 20 + 10 = 60.
3. Nenhuma das duas: 80 − 60 = 20.