Proposições simples e compostas e conectivos lógicos

O que é proposição

Proposição é frase declarativa com sentido completo, à qual se atribui um único valor lógico: V ou F. Não importa se o valor é V ou F; importa que ele exista. Três princípios sustentam a definição: identidade (o valor de uma proposição não muda dentro do raciocínio), não contradição (nenhuma proposição é V e F ao mesmo tempo) e terceiro excluído (toda proposição é V ou F, sem terceira opção).

Ex.: "3 + 4 = 8" é proposição (falsa). "Brasília é a capital do Brasil" é proposição (verdadeira).

O que não é proposição

Ficam de fora as frases que não declaram nada julgável:

• Interrogativa: "Que horas são?"
• Imperativa: "Feche a porta."
• Exclamativa: "Que belo dia!"
• Sentença aberta: tem variável ou sujeito indeterminado, e o valor depende de quem ocupa esse lugar.

A sentença aberta vira proposição quando a variável recebe valor ou é quantificada ("todo", "algum", "nenhum").

Ex.: "x + 3 = 10" é sentença aberta. Com x = 7 vira "7 + 3 = 10", proposição verdadeira. "Todo servidor é concursado" já é proposição: o quantificador fecha a sentença.

Simples e composta

A proposição simples não contém outra proposição como parte. A composta reúne duas ou mais simples por conectivos. Representam-se as simples por letras (p, q, r) e os conectivos por símbolos. Uma composta com n proposições simples distintas tem 2ⁿ combinações de valores.

Ex.: p: "O processo foi protocolado"; q: "O prazo foi cumprido". "O processo não foi protocolado ou o prazo foi cumprido" é ¬p ∨ q. Já ¬(p ∨ q) nega a disjunção inteira: "nem foi protocolado nem o prazo foi cumprido".

Negação

¬p (ou ~p) troca o valor de p. Lê-se "não p", "não é verdade que p", "é falso que p". A negação atinge só o que vem logo depois dela; os parênteses ampliam o alcance.

Ex.: p: "O servidor é estável" (V). ¬p: "O servidor não é estável" (F).

Conjunção e disjunção

A conjunção p ∧ q ("p e q") é V só quando as duas partes são V. A disjunção inclusiva p ∨ q ("p ou q") é F só quando as duas são F; basta uma parte V para o todo ser V. "Mas", "embora" e "nem" também ligam por conjunção ("nem p nem q" = ¬p ∧ ¬q).

Ex.: com p verdadeira e q falsa:

1. p ∧ q = V ∧ F = F.
2. p ∨ q = V ∨ F = V.

Disjunção exclusiva

p ⊻ q ("ou p ou q", "ou p ou q, mas não ambos") é V quando exatamente uma parte é V. Se as duas têm o mesmo valor, é F. A diferença para o "ou" inclusivo está só na linha V–V.

Ex.: "Ou o servidor está de férias ou está em serviço": com as duas V, o resultado é F; com apenas uma V, é V.

Condicional

p → q ("se p, então q") é F em um único caso: p verdadeira e q falsa. Com antecedente falso, a condicional é V, seja qual for o consequente. Outras leituras de p → q: "p é condição suficiente para q", "q é condição necessária para p", "p somente se q", "q, se p", "quando p, q", "todo p é q".

Ex.: "Se o servidor é aprovado, então é nomeado".

1. Aprovado (V) e nomeado (V): V.
2. Aprovado (V) e não nomeado (F): F.
3. Não aprovado (F), nomeado ou não: V.

Bicondicional

p ↔ q ("p se e somente se q") é V quando as duas partes têm o mesmo valor (V–V ou F–F). Equivale a duas condicionais: (p → q) ∧ (q → p). Cada parte é condição necessária e suficiente para a outra. Tem os valores opostos aos da disjunção exclusiva.

Ex.: com p verdadeira e q falsa, p ↔ q = F (valores diferentes). Com p e q falsas, p ↔ q = V.