Tabelas-verdade, tautologia, contradição e contingência

Número de linhas

Cada proposição simples tem dois valores possíveis. Com n proposições simples distintas, as combinações são 2 × 2 × … × 2 = 2ⁿ. A mesma letra repetida na fórmula conta uma vez só.

Ex.: (p → q) ∨ p tem duas letras distintas (p aparece duas vezes).

1. n = 2.
2. Linhas: 2² = 4.
3. Com 3 letras seriam 2³ = 8; com 4, 2⁴ = 16.

Como montar

1. Uma coluna para cada proposição simples. Na primeira, metade V e metade F; na seguinte, blocos com a metade do tamanho; na última, V e F alternados.
2. Uma coluna para cada parte da fórmula, de dentro para fora.
3. A última coluna é a da proposição inteira.

Ex.: tabela de (p ∨ q) → p.

Ordem de resolução

Resolvem-se primeiro os parênteses. Sem parênteses, a ordem é: negação; conjunção e disjunção; condicional; bicondicional. O conectivo resolvido por último é o principal e dá nome à proposição.

Ex.: ¬p ∨ q → r lê-se ((¬p) ∨ q) → r. A negação atinge só p, a disjunção vem antes da seta, e a proposição é uma condicional.

Valor em uma linha

Quando o item dá os valores das simples, não se monta a tabela: substitui-se e resolve-se na ordem.

Ex.: p falsa e q verdadeira.

1. p → q = F → V = V.
2. q → p = V → F = F.
3. ¬(p ∧ q): p ∧ q = F ∧ V = F; a negação dá V.

O caminho inverso também é cobrado: se p → q é falsa, então p é V e q é F, e p ∧ ¬q = V ∧ V = V.

Tautologia

Tautologia é a proposição composta verdadeira em todas as linhas, quaisquer que sejam os valores das simples. O modelo é p ∨ ¬p (terceiro excluído).

Ex.: (p → q) ∨ p.

1. Se p é V, a disjunção é V por causa do próprio p.
2. Se p é F, p → q é V (antecedente falso), e a disjunção é V.
3. Coluna final: V, V, V, V. Tautologia.

Contradição

Contradição é a proposição composta falsa em todas as linhas. O modelo é p ∧ ¬p (não contradição). A negação de uma tautologia é uma contradição, e vice-versa.

Ex.: (p → q) ∧ (p ∧ ¬q).

1. p ∧ ¬q só é V na linha p = V, q = F.
2. Nessa linha, p → q é F, e a conjunção é F.
3. Nas outras três, p ∧ ¬q já é F. Coluna final: F, F, F, F.

Contingência

Contingência é a proposição que tem pelo menos um V e pelo menos um F na coluna final. É o caso de toda proposição simples e da maior parte das compostas.

Ex.: (p ∨ q) → p, da tabela acima, tem coluna final V, V, F, V. É contingência, falsa só quando p é F e q é V.

Atalho: procurar a linha falsa

Para decidir se uma fórmula é tautologia, basta tentar torná-la falsa. Se a tentativa leva a um absurdo, é tautologia. Se dá certo, uma única linha falsa já prova que não é.

Ex.: (p ∧ q) → p.

1. Uma condicional só é falsa com antecedente V e consequente F.
2. Antecedente V exige p = V e q = V.
3. Consequente F exige p = F. Absurdo: p não pode ser V e F.
4. Não existe linha falsa: tautologia.

Equivalência e implicação lógicas

Duas proposições são equivalentes (P ≡ Q) quando têm a mesma coluna final; nesse caso, P ↔ Q é tautologia. P implica logicamente Q (P ⇒ Q) quando P → Q é tautologia, isto é, quando nenhuma linha tem P verdadeira e Q falsa.

Ex.: p → q e ¬p ∨ q têm a mesma coluna (V, F, V, V): são equivalentes. Como (p ∧ q) → p é tautologia, p ∧ q ⇒ p.