Raciocínio Lógico

Equivalências lógicas e Leis de De Morgan (negação de proposições)

6 min de leituraPodcast26 questões

Cai no edital de Agente Administrativo PRF, Agente PF, Escrivão PF, Papiloscopista PF, Agente Administrativo PF, Polícia Penal Federal, Banco Central, TJ-SP, Banco Central, Receita Federal, Receita Federal, Detran, Detran-PR, Detran-DF

Para revisar

Resumo

Duas proposições são equivalentes quando têm o mesmo valor lógico em todas as situações. A negação de uma proposição tem sempre o valor oposto ao dela. Quatro regras resolvem quase todos os itens.

De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q e ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q.
Contrapositiva: p → q ≡ ¬q → ¬p.
Condicional em disjunção: p → q ≡ ¬p ∨ q.
Negação da condicional: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q.
Bicondicional: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p); sua negação é p ⊻ q.
Dupla negação: ¬(¬p) ≡ p.
Não equivalem a p → q: a recíproca (q → p) e a inversa (¬p → ¬q).

Entenda

Equivalência não é negação

Equivalente é a frase que diz o mesmo com outra forma: mesma coluna na tabela-verdade. Negação é a frase com a coluna oposta. O item diz qual das duas quer ("é equivalente a", "a negação de"); a alternativa errada mais comum entrega uma no lugar da outra.

Ex.: para "Se chove, então a rodovia fica escorregadia", a equivalente é "Se a rodovia não fica escorregadia, então não chove"; a negação é "Chove e a rodovia não fica escorregadia".

Negação da conjunção (De Morgan)

¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q. Nega-se cada parte e troca-se "e" por "ou". Para a conjunção ser falsa, basta uma das partes falhar.

Ex.: negar "O servidor chegou cedo e assinou o ponto".

¬p: "não chegou cedo".
¬q: "não assinou o ponto".
Troca do conectivo: "O servidor não chegou cedo ou não assinou o ponto".

Negação da disjunção (De Morgan)

¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q. Nega-se cada parte e troca-se "ou" por "e". Para a disjunção ser falsa, as duas partes precisam falhar. "Nem p nem q" é a forma corrente de ¬p ∧ ¬q.

Ex.: negar "O servidor estuda ou trabalha": "O servidor não estuda e não trabalha" (nem estuda nem trabalha).

Ex.: negar "Nem o motorista estava cansado nem a pista estava molhada".

Forma: ¬p ∧ ¬q.
De Morgan: ¬(¬p ∧ ¬q) ≡ ¬¬p ∨ ¬¬q.
Dupla negação: p ∨ q, "O motorista estava cansado ou a pista estava molhada".

Contrapositiva

p → q ≡ ¬q → ¬p. Invertem-se as posições e negam-se as duas partes. Fazer só uma das duas coisas não dá equivalência: trocar sem negar gera a recíproca (q → p); negar sem trocar gera a inversa (¬p → ¬q). Recíproca e inversa equivalem entre si, não à original.

Ex.: "Se o motorista bebeu, então não pode dirigir".

p: "bebeu"; q: "não pode dirigir".
¬q: "pode dirigir"; ¬p: "não bebeu".
Contrapositiva: "Se o motorista pode dirigir, então não bebeu".

Condicional escrita como disjunção

p → q ≡ ¬p ∨ q. Nega-se o antecedente, troca-se a seta por "ou" e mantém-se o consequente. No sentido contrário, p ∨ q ≡ ¬p → q.

Ex.: "Se o servidor faltou, então perdeu o bônus" ≡ "O servidor não faltou ou perdeu o bônus".

Negação da condicional

¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q. Mantém-se o antecedente, troca-se por "e" e nega-se o consequente. A negação de uma condicional nunca é outra condicional.

Ex.: negar "Se o documento está assinado, então o processo segue".

Mantém p: "o documento está assinado".
Nega q: "o processo não segue".
Liga com "e": "O documento está assinado e o processo não segue".

Bicondicional

p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p). A negação é a disjunção exclusiva, p ⊻ q, que também se escreve p ↔ ¬q ou (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬p).

Ex.: negar "O servidor recebe o adicional se e somente se trabalha à noite": "Ou o servidor recebe o adicional ou trabalha à noite, mas não ambos".

Quadro

Proposição	Equivalentes	Negação
p ∧ q	q ∧ p	¬p ∨ ¬q
p ∨ q	¬p → q	¬p ∧ ¬q
p → q	¬q → ¬p; ¬p ∨ q	p ∧ ¬q
p ↔ q	(p → q) ∧ (q → p)	p ⊻ q
¬p ∧ ¬q (nem p nem q)	¬(p ∨ q)	p ∨ q

A partir de p → q	Forma	Equivale à original?
Contrapositiva	¬q → ¬p	sim
Recíproca	q → p	não
Inversa	¬p → ¬q	não

Como a banca cobra

A negação de "O servidor chegou cedo e assinou o ponto" é: correta: "não chegou cedo ou não assinou o ponto". Distratora: "não chegou cedo e não assinou o ponto" (negou as partes e manteve o "e": é a negação de "chegou cedo ou assinou").
A negação de "O servidor estuda ou trabalha" é: correta: "não estuda e não trabalha". Distratora: "não estuda ou não trabalha" (é a negação de "estuda e trabalha").
A negação de "Se o documento está assinado, então o processo segue" é: correta: "está assinado e o processo não segue". Distratora: "Se não está assinado, então o processo não segue" (é a inversa; negação de condicional não é condicional).
É equivalente a "Se chove, então a rodovia fica escorregadia": correta: "Se a rodovia não fica escorregadia, então não chove". Distratora: "Se a rodovia fica escorregadia, então chove" (recíproca).
"Se o servidor faltou, então perdeu o bônus" equivale a: correta: "não faltou ou perdeu o bônus". Distratora: "faltou ou não perdeu o bônus" (negou o lado errado: isso é p ∨ ¬q, equivalente à recíproca).
A negação de "Nem o motorista estava cansado nem a pista estava molhada" é: correta: "estava cansado ou a pista estava molhada". Distratora: "estava cansado e a pista estava molhada" (basta uma das duas para negar).
Detalhe que derruba o item: negar as partes sem trocar o conectivo, usar recíproca ou inversa como equivalente e entregar a equivalente quando o item pede a negação.

Revisão rápida

Como negar "p e q"?Revelar
¬p ou ¬q.
Como negar "p ou q"?Revelar
¬p e ¬q.
Como negar "se p, então q"?Revelar
p e ¬q.
Qual a contrapositiva de p → q?Revelar
¬q → ¬p.
Como escrever p → q com "ou"?Revelar
¬p ∨ q.
Recíproca e inversa equivalem à condicional?Revelar
Não; só a contrapositiva.
Qual a negação de p ↔ q?Revelar
p ⊻ q (ou p ou q, mas não ambos).
"Nem p nem q" é qual fórmula?Revelar
¬p ∧ ¬q.

Referência

Fontes consultadas (2)

Mapa mental

De Morgan
- ¬(p ∧ q) = ¬p ∨ ¬q
- ¬(p ∨ q) = ¬p ∧ ¬q
Condicional
- Contrapositiva: ¬q → ¬p
- Disjunção: ¬p ∨ q
- Negação: p ∧ ¬q
Bicondicional
- Ida e volta
- Negação: ou exclusivo
Não equivalentes
- Recíproca
- Inversa
⚠️ Pegadinha
- Negar → com outro → → errado

Questão 1, Agente Administrativo PRF, Múltipla escolha
A negação de "O servidor chegou cedo e assinou o ponto" é:
1. A)
  O servidor não chegou cedo e não assinou o ponto.
2. B)
  O servidor não chegou cedo ou não assinou o ponto.
3. C)
  O servidor chegou tarde e assinou o ponto.
4. D)
  Se o servidor chegou cedo, então não assinou o ponto.
5. E)
  O servidor chegou cedo ou assinou o ponto.
Revelar gabarito
Gabarito: letra B
Pela Lei de De Morgan, ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q: nega-se cada parte e troca-se “e” por “ou”. Manter o “e” ao negar as duas partes não produz a negação correta da frase original.
Questão 2, Agente Administrativo PRF, Múltipla escolha
A negação de "Se o documento está assinado, então o processo segue" é:
1. A)
  Se o documento não está assinado, então o processo não segue.
2. B)
  O documento não está assinado ou o processo segue.
3. C)
  O documento está assinado e o processo não segue.
4. D)
  Se o processo segue, então o documento está assinado.
5. E)
  O documento não está assinado e o processo não segue.
Revelar gabarito
Gabarito: letra C
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q: mantém o antecedente, troca por "e" e nega o consequente. "Se não está assinado, então não segue" é a inversa, que não é negação; "não está assinado ou segue" é equivalente à própria condicional.
Questão 3, Agente Administrativo PRF, Múltipla escolha
É equivalente a "Se chove, então a rodovia fica escorregadia":
1. A)
  Se a rodovia fica escorregadia, então chove.
2. B)
  Se não chove, então a rodovia não fica escorregadia.
3. C)
  Chove e a rodovia não fica escorregadia.
4. D)
  Se a rodovia não fica escorregadia, então não chove.
5. E)
  Não chove e a rodovia fica escorregadia.
Revelar gabarito
Gabarito: letra D
A contrapositiva ¬q → ¬p é equivalente a p → q. A recíproca e a inversa não são equivalentes; "Chove e a rodovia não fica escorregadia" é a negação.
Questão 4, Agente Administrativo PRF, Múltipla escolha
É logicamente equivalente à proposição “Se o motorista bebeu, então não pode dirigir”:
1. A)
  Se o motorista não bebeu, então pode dirigir.
2. B)
  Se o motorista não pode dirigir, então bebeu.
3. C)
  O motorista bebeu e não pode dirigir.
4. D)
  Se o motorista pode dirigir, então não bebeu.
5. E)
  O motorista bebeu ou pode dirigir.
Revelar gabarito
Gabarito: letra D
p → q equivale à contrapositiva ¬q → ¬p. Com p = “bebeu” e q = “não pode dirigir”, ¬q = “pode dirigir” e ¬p = “não bebeu”: “Se pode dirigir, então não bebeu”. Também seria equivalente “não bebeu ou não pode dirigir” (¬p ∨ q), o que não é (E). (A) é a inversa e (B) é a recíproca, ambas não equivalentes. (C) é uma conjunção.
Questão 5, Agente Administrativo PRF, Múltipla escolha
A negação da proposição “O servidor estuda ou trabalha” é:
1. A)
  O servidor não estuda ou não trabalha.
2. B)
  O servidor estuda e trabalha.
3. C)
  Se o servidor estuda, então não trabalha.
4. D)
  O servidor estuda e não trabalha.
5. E)
  O servidor não estuda e não trabalha.
Revelar gabarito
Gabarito: letra E
Pela lei de De Morgan, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q: nega-se cada parte e troca-se “ou” por “e”. (A) é a negação de “estuda e trabalha”. (B) e (D) não negam a disjunção.

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