Questões de Equivalências lógicas e Leis de De Morgan (negação de proposições)

Pela Lei de De Morgan, ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q: nega-se cada parte e troca-se “e” por “ou”. Manter o “e” ao negar as duas partes não produz a negação correta da frase original.

¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q: mantém o antecedente, troca por "e" e nega o consequente. "Se não está assinado, então não segue" é a inversa, que não é negação; "não está assinado ou segue" é equivalente à própria condicional.

A contrapositiva ¬q → ¬p é equivalente a p → q. A recíproca e a inversa não são equivalentes; "Chove e a rodovia não fica escorregadia" é a negação.

p → q equivale à contrapositiva ¬q → ¬p. Com p = “bebeu” e q = “não pode dirigir”, ¬q = “pode dirigir” e ¬p = “não bebeu”: “Se pode dirigir, então não bebeu”. Também seria equivalente “não bebeu ou não pode dirigir” (¬p ∨ q), o que não é (E). (A) é a inversa e (B) é a recíproca, ambas não equivalentes. (C) é uma conjunção.

Pela lei de De Morgan, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q: nega-se cada parte e troca-se “ou” por “e”. (A) é a negação de “estuda e trabalha”. (B) e (D) não negam a disjunção.

Pela lei de De Morgan, ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q: nega-se cada parte e troca-se “e” por “ou”. (A) nega as duas partes, mas mantém o “e”, o que equivale à negação de “p ou q”.

Vale a equivalência p → q ≡ ¬p ∨ q: “não faltou ou perdeu o bônus”. A recíproca q → p (B) e a inversa ¬p → ¬q (E) não são equivalentes à condicional; (A) corresponde a p ∨ ¬q, que equivale a q → p; a conjunção (D) não é equivalente.

“Nem p nem q” equivale a ¬p ∧ ¬q. Por De Morgan, ¬(¬p ∧ ¬q) ≡ p ∨ q: “estava cansado ou a pista estava molhada”. (A) exige as duas coisas, mas basta uma para negar a proposição; (C) é ¬p ∨ ¬q; (D) e (E) não correspondem à negação.

Certo. Pela Lei de De Morgan, ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q: negam-se as duas partes e troca-se o e pelo ou. A negação proposta segue exatamente esse procedimento.

Certo. Essas frases são contrapositivas, conforme p → q ≡ ¬q → ¬p: inverte-se a ordem e negam-se as partes. A contrapositiva é a forma condicional equivalente à proposição original.

Errado. A frase proposta é a inversa, que não nega a condicional. Pela regra ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q, mantém-se o primeiro termo e nega-se o segundo: estuda e não passa.

Errado. A forma q → p é a recíproca e não tem sempre o mesmo valor lógico de p → q. A equivalência condicional que existe é a contrapositiva, ou seja, ¬q → ¬p.

Certo. A condicional equivale à disjunção formada pela negação do antecedente e pelo consequente, ou seja, p → q ≡ ¬p ∨ q. A frase proposta aplica exatamente essa regra.

Certo. Pela Lei de De Morgan, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q: nega-se cada parte e troca-se o conectivo ou por e, chegando exatamente à frase apresentada no enunciado.

Certo. A negação da condicional segue ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q: mantém-se o antecedente, chove, e nega-se o consequente, a rua não molha, unindo as duas partes pelo conectivo e.

Errado. A forma ¬p → ¬q é a inversa, que não equivale à condicional original. São equivalentes a p → q a contrapositiva ¬q → ¬p e a disjunção ¬p ∨ q.

Certo. A bicondicional equivale à condicional nos dois sentidos, ligadas por conjunção; a expressão só é verdadeira quando p e q têm o mesmo valor, o que coincide com p ↔ q.

Errado. Pela Lei de De Morgan, ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q: além de negar as partes, é preciso trocar e por ou, resultando em João não é policial ou Maria não é médica.

Certo. Sejam p: "quero debate" e q: "tenho receio de debater". P = ¬p ∧ ¬q (o "mas" equivale a "e"). A negação de "Se não quero debate, então tenho receio de debater" (¬p → q) é ¬p ∧ ¬q, que é exatamente P.

Certo. A condicional p → q só é falsa quando p é verdadeira e q é falsa, exatamente o caso em que ¬p ∨ q é falsa; por isso as duas proposições são equivalentes.

Errado. A recíproca q → p não é equivalente a p → q. A equivalência da condicional é com a contrapositiva ¬q → ¬p, que tem a mesma tabela-verdade.

Certo. Pela lei de De Morgan, a negação de uma conjunção é a disjunção das negações: ¬(p ∧ q) equivale a ¬p ∨ ¬q; daí “João não é alto ou não é magro”.

Errado. A bicondicional é verdadeira quando p e q têm o mesmo valor lógico; sua negação é verdadeira quando eles diferem, o que corresponde à disjunção exclusiva, e não à conjunção.

A negação do universal afirmativo "Todo A é B" é o particular negativo "Algum A não é B", aqui "Algum auditor não é atento". A alternativa "Nenhum auditor é atento" é a mais tentadora, mas "Nenhum auditor é atento" é a contrária, e não a contraditória da proposição dada.

A contrapositiva ¬q → ¬p é equivalente a p → q, pois tem a mesma tabela-verdade. A alternativa "q → p" é a mais tentadora, mas q → p é a recíproca, e a alternativa "¬p → ¬q", é a inversa, sem equivalência lógica com a condicional original.

Pela Lei de De Morgan, ¬(p ∨ q) equivale a ¬p ∧ ¬q: nega-se cada proposição e troca-se o conectivo. A alternativa "¬p ∨ ¬q" é a mais tentadora, pois nega as proposições, mas mantém a disjunção, o que corresponde à negação da conjunção, não da disjunção.