Questões de Lógica de primeira ordem — quantificadores e predicados

∃x lê-se “existe ao menos um x”, e ¬P(x) é “x não é servidor efetivo”. “Nenhum funcionário é efetivo” (B) seria ∀x ¬P(x). (C) é ∀x P(x), e (D) é ∃x P(x). (E) é ¬∃x ¬P(x), equivalente a ∀x P(x): é justamente a negação da sentença dada.

Para negar “todo x satisfaz a condição”, basta que exista um x que não a satisfaça: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x). A negação de “x > 2” é “x ≤ 2”, que inclui o próprio 2. Por isso (E), com “x < 2”, deixa de fora o caso x = 2. Trocar o quantificador por “todo” (A, D) não nega a sentença, e (C) mantém a condição original.

“Todo A é H” significa “para todo x, se x é agente, então x é habilitado”: ∀x (A(x) → H(x)). A conjunção com “todo” (A) diria que todos são agentes e habilitados. (B) traduz “algum agente é habilitado”. (D) inverte a relação (“todo habilitado é agente”). O quantificador existencial (E) não expressa “todo”.

¬∃x (A(x) ∧ M(x)) ≡ ∀x (A(x) → ¬M(x)): “nenhum agente é motorista”, que equivale a “todo agente não é motorista”. “Algum agente não é motorista” (B) é a negação de “todo agente é motorista” (C) e pode ser verdadeira junto com a proposição original.

¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x): basta que exista um servidor do setor não concursado. “Nenhum” (A) e “todos não” (B) são afirmações mais fortes, contrárias à original, e não contraditórias a ela.

“Algum A não é B” traduz-se por ∃x (A(x) ∧ ¬B(x)): existe x concursado e não estável. (A) afirma que nenhum concursado é estável; (B) usa condicional com o existencial, o que torna a sentença verdadeira até se houver um não concursado; (C) diz que nenhum servidor é concursado e estável; (D) equivale a “todo concursado é estável”, a negação da sentença.

Certo. A negação troca o quantificador e nega o predicado: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x). Para falsear a afirmação universal, basta um veículo em situação não regular.

Errado. A negação de um existencial é ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x), ou seja, nenhum servidor é faltoso. A frase proposta mantém o predicado positivo e, por isso, não nega a original.

Certo. A afirmação universal exige que todos os elementos satisfaçam a propriedade. Basta um único caso que não a satisfaça, o contraexemplo, para demonstrar que ∀x P(x) é falsa.

Certo. A sentença aberta tem variável livre e não possui valor lógico definido. Ao ser quantificada, ou ao receber valor para a variável, a sentença pode ser julgada como verdadeira ou falsa.

Errado. O quantificador existencial exige somente pelo menos um elemento que satisfaça P. A exigência de que todos os elementos satisfaçam a propriedade corresponde ao quantificador universal, representado por ∀.

Certo. Nenhum candidato foi aprovado corresponde a ∀x ¬P(x); ao negar, troca-se o quantificador e nega-se o predicado, chegando a ∃x P(x), ou seja, algum candidato foi aprovado.

Errado. A negação de ∃x P(x) é ∀x ¬P(x), isto é, nenhum servidor é estável. A frase do enunciado poderia ser verdadeira junto com a original, o que impede que seja sua negação.

Certo. O quantificador universal exige que todos os elementos satisfaçam o predicado, e todo número real elevado ao quadrado é maior ou igual a zero, inclusive o zero, o que torna verdadeira a proposição.

Errado. Para o existencial ser verdadeiro, bastaria um elemento satisfazer a sentença, mas subtraindo x dos dois lados chega-se a 1 = 0, igualdade impossível; logo, nenhum real a satisfaz.

Certo. Os predicados representam propriedades ou relações atribuídas às variáveis, como em P(x): x é servidor, e ao lado dos quantificadores ampliam o que a lógica proposicional consegue analisar.