Questões de Distribuições uniforme, Bernoulli, binomial e Poisson

Errado. A distribuição de Poisson tem parâmetro λ, que é simultaneamente sua média e sua variância. Assim, a variância é igual à média, e não ao quadrado da média, como afirma o item.

Certo. Na binomial, Var(X) = np(1 − p). Com n = 100 e p = 0,2, calcula-se 100 × 0,2 × 0,8 = 16, exatamente o valor indicado pelo item.

Certo. No processo de Poisson, o parâmetro é proporcional ao intervalo observado. A taxa de 2 acidentes por hora, em 3 horas, dá λ = 6, que é também o número esperado.

Certo. Na uniforme contínua em [a, b], a variância é (b − a)²/12. Para o intervalo [0, 6], calcula-se (6 − 0)²/12 = 36/12 = 3, valor afirmado no item.

Errado. Sem reposição em população pequena, a retirada de cada bola altera a composição da urna e a probabilidade de sucesso. Os ensaios deixam de ser independentes, e o modelo adequado é a hipergeométrica.

Certo. A binomial soma n ensaios de Bernoulli independentes, cada um com média p e variância p(1 − p). Somando esses valores, obtêm-se média np e variância np(1 − p).

Certo. O parâmetro λ da distribuição de Poisson representa tanto a média quanto a variância do número de eventos no intervalo, o que distingue esse modelo de outras distribuições discretas.

Errado. O número de tentativas até o primeiro sucesso segue a distribuição geométrica. A binomial conta os sucessos em n ensaios independentes, com probabilidade constante, e não admite tentativas dependentes.

Na binomial, P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k). Assim, P(X = 2) = C(3, 2) × 0,5² × 0,5¹ = 3 × 0,25 × 0,5 = 0,375. A alternativa "0,125" é a armadilha, pois 0,125 esquece o fator combinatório C(3, 2) = 3.

A esperança da binomial é o produto do número de ensaios pela probabilidade de sucesso: E(X) = np = 10 × 0,2 = 2. A alternativa "1,6" é a armadilha, pois 1,6 é a variância np(1 − p), e a alternativa "8" troca p por 1 − p.

A variância da binomial é np(1 − p) = 10 × 0,2 × 0,8 = 1,6. A alternativa "2,0" é a armadilha, pois 2,0 é a esperança np, sem o fator (1 − p), e a alternativa "0,16" traz 0,16, que é apenas o produto p(1 − p).

Na distribuição de Poisson, a esperança e a variância são ambas iguais ao parâmetro λ, de modo que, com λ = 2, valem 2 e 2. A alternativa "2 e √2" é a mais tentadora, mas √2 é o desvio padrão, e não a variância da distribuição.

Na Poisson, P(X = k) = e^(−λ) λ^k / k!. Com k = 0, λ⁰ = 1 e 0! = 1, sobrando P(X = 0) = e^(−λ). A alternativa "λe^(−λ)" é a armadilha, pois λe^(−λ) corresponde a P(X = 1), e não à probabilidade de zero ocorrências.