Distribuições uniforme, Bernoulli, binomial e Poisson
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Resumo
Distribuições especiais são modelos prontos. Reconhecido o modelo no enunciado, a probabilidade, a esperança e a variância saem de fórmula.
- Uniforme: todos os valores com a mesma chance.
- Bernoulli: um ensaio com sucesso (probabilidade p) ou fracasso.
- Binomial: número de sucessos em n ensaios independentes, com p constante; E = np e Var = np(1 − p).
- Poisson: número de ocorrências em intervalo de tempo ou espaço; E = Var = λ.
- Sem reposição em população pequena: o modelo é a hipergeométrica, não a binomial.
- Aproximação: a Poisson aproxima a binomial com n grande e p pequeno.
Entenda
Uniforme discreta e contínua
Na uniforme discreta, n valores têm a mesma probabilidade 1/n. Na uniforme contínua em [a, b], a densidade é constante: f(x) = 1/(b − a). A probabilidade de um intervalo é seu comprimento dividido por (b − a). Esperança: (a + b)/2. Variância: (b − a)²/12.
Ex.: dado honesto: P = 1/6 para cada face, e E = 3,5. Uniforme contínua em [0, 10]: P(2 < X < 5) = 3/10 e Var = 100/12 ≈ 8,33. Em [0, 6]: Var = 36/12 = 3.
Bernoulli
Um único ensaio com dois resultados: sucesso (X = 1), com probabilidade p, ou fracasso (X = 0). E = p e Var = p(1 − p). A variância é máxima quando p = 0,5: vale 0,25.
Ex.: um veículo abordado tem irregularidade com p = 0,1. E = 0,1 e Var = 0,1 × 0,9 = 0,09.
Binomial
Conta os sucessos em n ensaios de Bernoulli independentes, todos com o mesmo p. É a soma de n Bernoulli.
- P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
- E = np; Var = np(1 − p).
Ex.: n = 4 e p = 0,5. P(X = 2) = 6 × (0,5)⁴ = 6/16 = 0,375; E = 2; Var = 1.
Ex.: 100 abordagens, com p = 0,1 de irregularidade: E = 10, Var = 9 e desvio padrão 3. Com n = 100 e p = 0,2: Var = 100 × 0,2 × 0,8 = 16.
Quando a binomial não serve
A binomial exige independência e p constante. É o que ocorre em sorteios com reposição ou em população muito grande. Em retiradas sem reposição de população pequena, a probabilidade muda a cada retirada: o modelo é a hipergeométrica. Se o que se conta é o número de tentativas até o primeiro sucesso, o modelo é a geométrica, com E = 1/p.
Ex.: urna com 3 bolas vermelhas e 2 azuis; retiram-se 2 sem reposição. P(duas vermelhas) = 3/5 × 2/4 = 0,3. Pela binomial com p = 0,6 daria 0,36, valor errado para esse caso.
Poisson
Conta ocorrências em um intervalo contínuo de tempo, área ou volume, a uma taxa média λ.
- P(X = k) = e^(−λ)·λᵏ/k!.
- E = Var = λ.
- A taxa é proporcional ao intervalo: taxa de 2 por hora dá λ = 6 em 3 horas e λ = 1 em meia hora.
- A soma de Poisson independentes é Poisson, com λ₁ + λ₂.
Ex.: média de 2 acidentes por dia. P(X = 0) = e⁻² ≈ 0,135. P(X = 1) = 2 × e⁻² ≈ 0,271.
Poisson como aproximação da binomial
Com n grande e p pequeno, a binomial(n, p) fica próxima da Poisson com λ = np. Com n grande e p longe de 0 e de 1 (np ≥ 5 e n(1 − p) ≥ 5), a aproximação usual é a normal.
Ex.: 1.000 passageiros, cada um com probabilidade 0,002 de portar item proibido. λ = 1.000 × 0,002 = 2. P(nenhum) ≈ e⁻² ≈ 0,135.
Reconhecer o modelo pelo enunciado
| Enunciado | Modelo |
|---|---|
| "Todos os valores igualmente prováveis" | Uniforme |
| "n tentativas independentes, sucesso ou fracasso" | Binomial |
| "Ocorrências por hora, por km, por página, a uma taxa média" | Poisson |
| "Retiradas sem reposição de um lote pequeno" | Hipergeométrica |
| "Tentativas até o primeiro sucesso" | Geométrica |
Ex.: "o posto recebe em média 4 chamadas por hora; qual a probabilidade de nenhuma chamada em 30 minutos?" Poisson com λ = 2.
Quadro
| Modelo | P(X = k) | E[X] | Var(X) |
|---|---|---|---|
| Bernoulli(p) | p, se k = 1; 1 − p, se k = 0 | p | p(1 − p) |
| Binomial(n, p) | C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ | np | np(1 − p) |
| Poisson(λ) | e^(−λ)·λᵏ/k! | λ | λ |
| Geométrica(p) | (1 − p)ᵏ⁻¹·p | 1/p | (1 − p)/p² |
| Uniforme contínua [a, b] | densidade 1/(b − a) | (a + b)/2 | (b − a)²/12 |
Como a banca cobra
- "Na distribuição de Poisson, a variância é igual ao quadrado da média." → errado (variância e média são iguais a λ).
- "Se X segue distribuição binomial com n = 100 e p = 0,2, então a variância de X é igual a 16." → certo (100 × 0,2 × 0,8).
- "Se ocorrem, em média, 2 acidentes por hora segundo um processo de Poisson, o número esperado em 3 horas é 6." → certo (a taxa é proporcional ao intervalo).
- "A variância de uma variável uniforme contínua no intervalo [0, 6] é igual a 3." → certo (36 ÷ 12).
- "Retiradas sem reposição de uma urna com poucas bolas seguem distribuição binomial, pois a probabilidade de sucesso permanece constante." → errado (a probabilidade muda; hipergeométrica).
- "A distribuição binomial descreve o número de tentativas dependentes até o primeiro sucesso." → errado (conta sucessos em n ensaios independentes; "até o primeiro sucesso" é a geométrica).
- "Na binomial, a probabilidade de sucesso pode variar de um ensaio para outro." → errado (p é constante).
- "Se X ~ Binomial(20; 0,3), então E[X] = 6 e Var(X) = 4,2." → certo (20 × 0,3 e 6 × 0,7).
- Detalhe que derruba o item: na variância da binomial, a banca "esquece" o fator (1 − p) e dá np. Na Poisson, troca "igual à média" por "quadrado da média" ou "raiz da média" (a raiz é o desvio padrão).
Revisão rápida
Quais a esperança e a variância da binomial?Revelar
np e np(1 − p).
O que a binomial exige dos ensaios?Revelar
Independência e p constante.
Quais a esperança e a variância da Poisson?Revelar
As duas iguais a λ.
Taxa de 2 por hora: qual o λ em 3 horas?Revelar
Qual a variância da uniforme contínua em [a, b]?Revelar
(b − a)²/12.
Quando a variância da Bernoulli é máxima?Revelar
Com p = 0,5; vale 0,25.
Qual o modelo para retiradas sem reposição em lote pequeno?Revelar
Hipergeométrica.
Quando a Poisson aproxima a binomial?Revelar
Com n grande e p pequeno, usando λ = np.
Mapa mental
Uniforme
- Discreta: P = 1/n
- Contínua: média (a + b)/2
- Variância (b − a)²/12
Bernoulli
- Um ensaio, sucesso p
- Variância p(1 − p), máxima em 0,5
Binomial
- n ensaios independentes, p constante
- C(n,k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ
- E = np, Var = np(1 − p)
Poisson
- Eventos por tempo ou espaço
- E = Var = λ
- λ proporcional ao intervalo
- Aproxima binomial: n grande, p pequeno
Outras
- Hipergeométrica: sem reposição
- Geométrica: até o primeiro sucesso
⚠️ Pegadinha
- Poisson: variância = média, não média²
Questão 1, Agente PF, Certo ou Errado
Na distribuição de Poisson, a variância é igual ao quadrado da média.
Revelar gabarito
Gabarito: Errado
Errado. A distribuição de Poisson tem parâmetro λ, que é simultaneamente sua média e sua variância. Assim, a variância é igual à média, e não ao quadrado da média, como afirma o item.
Questão 2, Agente PF, Certo ou Errado
Se X segue distribuição binomial com n = 100 e p = 0,2, então a variância de X é igual a 16.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. Na binomial, Var(X) = np(1 − p). Com n = 100 e p = 0,2, calcula-se 100 × 0,2 × 0,8 = 16, exatamente o valor indicado pelo item.
Questão 3, Agente PF, Certo ou Errado
Se ocorrem, em média, 2 acidentes por hora segundo um processo de Poisson, o número esperado de acidentes em 3 horas é 6.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. No processo de Poisson, o parâmetro é proporcional ao intervalo observado. A taxa de 2 acidentes por hora, em 3 horas, dá λ = 6, que é também o número esperado.
Questão 4, Agente PF, Certo ou Errado
A variância de uma variável uniforme contínua no intervalo [0, 6] é igual a 3.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. Na uniforme contínua em [a, b], a variância é (b − a)²/12. Para o intervalo [0, 6], calcula-se (6 − 0)²/12 = 36/12 = 3, valor afirmado no item.
Questão 5, Agente PF, Certo ou Errado
Retiradas sem reposição de uma urna com poucas bolas seguem distribuição binomial, pois a probabilidade de sucesso permanece constante.
Revelar gabarito
Gabarito: Errado
Errado. Sem reposição em população pequena, a retirada de cada bola altera a composição da urna e a probabilidade de sucesso. Os ensaios deixam de ser independentes, e o modelo adequado é a hipergeométrica.
- Revelar resposta
Binomial (n, p) — média e variância
E = np; Var = np(1 − p). Exige n ensaios independentes com p constante.
- Revelar resposta
Poisson (λ) — média e variância
E = Var = λ. Conta eventos num intervalo; λ é proporcional ao intervalo.
- Revelar resposta
Uniforme contínua em [a, b]
E = (a + b)/2; Var = (b − a)²/12.
- Revelar resposta
Bernoulli — variância máxima
Var = p(1 − p), máxima (0,25) com p = 0,5.
- Revelar resposta
Binomial sem reposição em população pequena
O modelo correto é a hipergeométrica. A Poisson aproxima a binomial com n grande e p pequeno (λ = np).
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