Questões de Estimação pontual e propriedades dos estimadores

Errado. A máxima verossimilhança não assegura ausência de viés. O EMV da variância da normal divide por n e é viesado, embora consistente; o estimador não viesado usa divisor n − 1.

Certo. O EQM decompõe-se em Var(θ̂) + viés², reunindo dispersão e erro sistemático. Por isso, um estimador com pequeno viés pode ter EQM menor que outro não viesado com variância maior.

Certo. Com divisor n − 1, tem-se E[S²] = σ², a condição de ausência de viés. O divisor n, usado pelo EMV na normal, produz estimador viesado, embora consistente, da variância populacional.

Errado. Entre estimadores não viesados, a eficiência está associada à menor variância, pois valores menos dispersos ficam mais próximos do parâmetro. O item inverte esse critério de comparação.

Certo. Consistência é a propriedade de convergir para o parâmetro quando n cresce, bastando que o erro quadrático médio tenda a zero. A média amostral é consistente, pois sua variância σ²/n diminui com n.

Certo. A esperança da média amostral é μ, ou seja, E[X̄] = μ, condição que define a ausência de viés. Além disso, a média amostral é consistente, pois sua variância diminui com n.

Errado. O divisor n subestima, em média, a variância populacional, produzindo estimador viesado, embora consistente. A ausência de viés é obtida com o divisor n − 1, usado na variância amostral S².

Certo. O estimador consistente se aproxima do parâmetro θ à medida que n aumenta, convergindo em probabilidade. Uma condição suficiente para isso é que seu erro quadrático médio tenda a zero.

Um estimador é não viesado quando sua esperança é igual ao parâmetro estimado, ou seja, E(θ̂) = θ, o que significa acerto em média, não em toda amostra. A alternativa "é sempre igual ao parâmetro" é a mais tentadora, mas o estimador varia de amostra para amostra.

A média é 4 e a soma dos quadrados dos desvios é 4 + 0 + 4 = 8. A variância amostral usa divisor n − 1: 8 / (3 − 1) = 4. A alternativa "2,67" é a armadilha, pois 2,67 resulta do divisor n, próprio da variância populacional.

A variância da média amostral é a variância populacional dividida pelo tamanho da amostra: σ² / n = 100 / 25 = 4. A alternativa "2" é a armadilha, pois 2 é o desvio padrão da média, √4, e não a variância pedida pelo enunciado.

Um estimador consistente converge em probabilidade para o parâmetro à medida que a amostra cresce, sendo essa uma propriedade assintótica. A alternativa "não depende do tamanho da amostra" é a mais tentadora, mas a consistência depende justamente do aumento de n, e não da ausência de relação com o tamanho da amostra.

A média amostral é o estimador pontual usual da média populacional: (4 + 6 + 8) / 3 = 18 / 3 = 6. A alternativa "18" é a armadilha, pois 18 é apenas a soma, e as alternativas "4" e "8" são apenas o menor e o maior valor da amostra.