Estimação pontual e propriedades dos estimadores
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Cai no edital de Agente PF, Escrivão PF, Papiloscopista PF, Receita Federal, Receita Federal
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Resumo
Essência. Estimador é uma estatística (fórmula, variável aleatória) usada para aproximar um parâmetro θ; estimativa é o valor que ele assume numa amostra concreta.
Propriedades
- Não viesado: E[θ̂] = θ. Viés = E[θ̂] − θ.
- Eficiente: entre os não viesados, tem menor variância.
- Consistente: se aproxima de θ quando n cresce (basta o erro quadrático médio tender a zero).
- Suficiente: resume toda a informação da amostra sobre θ (ex.: Σxᵢ para p na Bernoulli e para λ na Poisson).
- Erro quadrático médio: EQM = Var(θ̂) + viés².
Métodos
- Momentos: iguala momentos amostrais aos populacionais e resolve.
- Máxima verossimilhança (EMV): escolhe o θ que torna a amostra observada mais provável, maximizando L(θ) = Π f(xᵢ; θ).
- Mínimos quadrados: minimiza a soma dos quadrados dos erros (regressão).
Exceções e distinções. S² com divisor n − 1 é não viesado para σ²; com divisor n (o EMV na normal) é viesado, mas consistente. Não viesado não significa menor EQM: um estimador com pequeno viés pode ter EQM menor.
Pegadinha Cebraspe. "O estimador de máxima verossimilhança é sempre não viesado" → errado (ex.: variância da normal com divisor n).
Visão geral
Estimação pontual dá um número para o parâmetro (x̄ para μ, p̂ para p, S² para σ²); estimação intervalar dá uma faixa com nível de confiança. Para escolher entre estimadores, comparam-se viés, variância e EQM.
Regra
Ver íntegra
| Parâmetro | Estimador usual | Propriedade |
|---|---|---|
| μ | X̄ | não viesado, consistente |
| p | p̂ = x/n | não viesado; EMV na Bernoulli |
| λ (Poisson) | X̄ | EMV, não viesado |
| σ² | S² = Σ(xᵢ − x̄)²/(n − 1) | não viesado |
| σ² (normal) | Σ(xᵢ − x̄)²/n | EMV, viesado |
Critério da fatoração (Neyman-Fisher): T é suficiente se a verossimilhança se fatora em g(T, θ)·h(x), com h sem θ.
Pontos-chave
Exemplo clássico (uniforme em [0, θ]).
- Momentos: E[X] = θ/2 → θ̂ = 2x̄.
- Máxima verossimilhança: θ̂ = maior valor da amostra (viesado para baixo).
Invariância do EMV: se θ̂ é EMV de θ, então g(θ̂) é EMV de g(θ). Ex.: se σ̂² é EMV, σ̂ = √σ̂² é EMV de σ.
Abordagem bayesiana: trata θ como aleatório; com perda quadrática, o estimador é a média da distribuição a posteriori.
Média amostral: variância σ²/n, que cai com n → consistente.
Como a banca cobra
- "A variância amostral com divisor n − 1 é estimador não viesado da variância populacional" → certo.
- "Estimador consistente é necessariamente não viesado" → errado (pode ter viés que some com n grande).
- "Estimativa é o valor numérico obtido ao aplicar o estimador à amostra" → certo.
- "Na Poisson, a média amostral é o estimador de máxima verossimilhança de λ" → certo.
Referência
Mapa mental
Conceitos
- Estimador é variável aleatória
- Estimativa é o valor obtido
Propriedades
- Não viesado: E[θ̂] = θ
- Eficiente: menor variância
- Consistente: converge com n
- Suficiente: resume toda a informação
- EQM = variância + viés²
Métodos
- Momentos: iguala momentos amostrais
- Máxima verossimilhança: maximiza L(θ)
- Mínimos quadrados: regressão
Exemplos
- S² com n − 1: não viesado
- Uniforme [0,θ]: 2x̄ ou máximo
⚠️ Pegadinha
- EMV pode ser viesado
- Consistente pode ter viés
Questão 1, Agente PF, Certo ou Errado
O estimador de máxima verossimilhança é sempre não viesado.
Revelar gabarito
Gabarito: Errado
Errado. A máxima verossimilhança não assegura ausência de viés. O EMV da variância da normal divide por n e é viesado, embora consistente; o estimador não viesado usa divisor n − 1.
Questão 2, Agente PF, Certo ou Errado
O erro quadrático médio de um estimador é igual à soma de sua variância com o quadrado de seu viés.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. O EQM decompõe-se em Var(θ̂) + viés², reunindo dispersão e erro sistemático. Por isso, um estimador com pequeno viés pode ter EQM menor que outro não viesado com variância maior.
Questão 3, Agente PF, Certo ou Errado
A variância amostral calculada com divisor n − 1 é estimador não viesado da variância populacional.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. Com divisor n − 1, tem-se E[S²] = σ², a condição de ausência de viés. O divisor n, usado pelo EMV na normal, produz estimador viesado, embora consistente, da variância populacional.
Questão 4, Agente PF, Certo ou Errado
Entre dois estimadores não viesados, o mais eficiente é o de maior variância.
Revelar gabarito
Gabarito: Errado
Errado. Entre estimadores não viesados, a eficiência está associada à menor variância, pois valores menos dispersos ficam mais próximos do parâmetro. O item inverte esse critério de comparação.
Questão 5, Agente PF, Certo ou Errado
Um estimador é consistente quando se aproxima do parâmetro à medida que o tamanho da amostra aumenta.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. Consistência é a propriedade de convergir para o parâmetro quando n cresce, bastando que o erro quadrático médio tenda a zero. A média amostral é consistente, pois sua variância σ²/n diminui com n.
- Revelar resposta
Estimador não viesado
E[θ̂] = θ (viés = E[θ̂] − θ = 0).
- Revelar resposta
Erro quadrático médio
EQM = Var(θ̂) + viés². Estimador levemente viesado pode ter EQM menor.
- Revelar resposta
Estimador consistente
Aproxima-se de θ quando n cresce (basta EQM → 0).
- Revelar resposta
S² com divisor n × n − 1
Divisor n − 1: não viesado para σ². Divisor n (EMV na normal): viesado, mas consistente.
- Revelar resposta
Máxima verossimilhança
Escolhe o θ que maximiza L(θ) = Π f(xᵢ; θ), tornando a amostra observada mais provável.
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