Questões de Lei dos grandes números e teorema central do limite

Certo. A lei dos grandes números afirma que, com variáveis i.i.d. de média finita μ, a média amostral aproxima-se de μ à medida que n cresce, resultado que fundamenta a consistência de estimadores.

Errado. A implicação é a inversa: a convergência quase certa, da lei forte, implica a convergência em probabilidade, da lei fraca; a fraca, por si só, não garante a forte.

Errado. O teorema central do limite trata da distribuição da média amostral padronizada, que tende à normal. Os dados originais continuam com sua própria distribuição, seja qual for o tamanho da amostra.

Certo. Com observações i.i.d. e variância finita σ², a variância da média amostral é σ²/n; por isso, a dispersão da média diminui conforme o tamanho da amostra aumenta.

Certo. A distribuição de Cauchy não tem média definida; falta, portanto, a média finita exigida pela lei dos grandes números, e sua média amostral não converge para constante alguma.

Certo. A versão fraca afirma que P(|X̄ₙ − μ| > ε) tende a zero para todo ε positivo, ou seja, a média amostral converge em probabilidade para a média populacional.

Certo. A versão forte afirma P(X̄ₙ → μ) = 1, ou seja, a média amostral converge quase certamente para μ; trata-se de exigência mais forte que a convergência em probabilidade.

Certo. A convergência quase certa, que caracteriza a lei forte, implica a convergência em probabilidade, que caracteriza a lei fraca; logo, a versão forte implica a fraca, e não o contrário.

Certo. Pela desigualdade de Chebyshev, P(|X̄ₙ − μ| ≥ ε) ≤ σ²/(nε²). Com σ² = 4, n = 100 e ε = 1, o limite é 4/100, ou seja, 0,04.

Errado. A versão de Khinchine pede apenas média finita. A variância finita facilita a prova pela desigualdade de Chebyshev, mas não é condição necessária para esse resultado.

Certo. Os resultados se complementam: a LGN indica o número para onde a média converge, enquanto o TCL descreve a forma da flutuação da média padronizada, que tende à normal.

Errado. A forma clássica do teorema central do limite exige variância finita σ²: é ela que permite padronizar √n(X̄ₙ − μ)/σ e obter convergência à normal padrão.

Certo. A variância da média amostral é σ²/n, ou 25/100 = 0,25; o desvio padrão é a raiz desse valor, que corresponde a 0,5, como informa o item.

Certo. Na simulação de Monte Carlo, a média de muitos resultados simulados aproxima a esperança buscada; a lei dos grandes números dá a base para essa convergência, assim como para a consistência de estimadores.

Errado. O teorema central do limite fundamenta intervalos e testes aproximados em grandes amostras. Não se trata de base exclusiva para testes exatos em amostras pequenas, que dependem de outras hipóteses.