Questões de Teorema da probabilidade total e regra de Bayes
Estatística, 9 questões com gabarito comentado
Questão 1, Agente PF, Certo ou Errado
Se um teste detecta 90% dos usuários de drogas, a probabilidade de uma pessoa com resultado positivo ser usuária é de 90%, independentemente da prevalência do uso.
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Gabarito: Errado
Errado. Os 90% representam P(+ | usuário), e o item os confunde com P(usuário | +). Pelo teorema de Bayes, esta última depende da prevalência, e pode ser baixa quando a conduta é rara.
Questão 2, Agente PF, Certo ou Errado
Com prevalência de 5%, sensibilidade de 90% e taxa de falso positivo de 10%, a probabilidade de resultado positivo é igual a 0,14.
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Gabarito: Certo
Certo. Pela probabilidade total, somam-se os ramos: 0,90 × 0,05 + 0,10 × 0,95 = 0,045 + 0,095 = 0,14. A partição usada separa usuários e não usuários do grupo testado.
Questão 3, Agente PF, Certo ou Errado
Dois eventos mutuamente exclusivos, ambos com probabilidade positiva, são independentes.
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Gabarito: Errado
Errado. Eventos exclusivos têm P(A ∩ B) = 0, enquanto P(A)·P(B) é positivo. Como a igualdade não se verifica, eles são dependentes: a ocorrência de um impede a ocorrência do outro.
Questão 4, Agente PF, Certo ou Errado
Se A e B são independentes, então P(A | B) = P(A).
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Gabarito: Certo
Certo. Independência significa que saber da ocorrência de B não muda a chance de A. Formalmente, a condição P(A ∩ B) = P(A)·P(B) equivale a P(A | B) = P(A).
Questão 5, Agente PF, Certo ou Errado
Se P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 e P(A ∩ B) = 0,2, os eventos A e B são independentes.
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Gabarito: Certo
Certo. O critério de independência compara P(A ∩ B) com P(A)·P(B). Como 0,5 × 0,4 = 0,2, valor igual a P(A ∩ B), os eventos A e B são independentes.
Questão 6, Agente PF, Certo ou Errado
O teorema de Bayes permite calcular P(A|B) a partir de P(B|A), P(A) e P(B).
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Gabarito: Certo
Certo. O teorema inverte a condicional: P(A | B) = P(B | A)·P(A)/P(B). Em problemas em duas etapas, o denominador P(B) costuma ser obtido pela regra da probabilidade total.
Questão 7, Agente PF, Certo ou Errado
Se A e B são independentes, então P(A|B) = P(A).
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Gabarito: Certo
Certo. Se A e B são independentes, a informação de que B ocorreu não altera a probabilidade de A. Essa igualdade é uma forma equivalente de expressar P(A ∩ B) = P(A)·P(B).
Questão 8, Agente PF, Certo ou Errado
Eventos mutuamente exclusivos com probabilidades positivas são independentes.
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Gabarito: Errado
Errado. Para eventos exclusivos, a interseção tem probabilidade zero, ao passo que o produto das probabilidades positivas é maior que zero. A regra P(A ∩ B) = P(A)·P(B) falha, portanto são dependentes.
Questão 9, Receita Federal, Múltipla escolha
Uma doença atinge 10% da população. O teste dá positivo em 90% dos doentes e em 20% dos sadios. Dado resultado positivo, a probabilidade de a pessoa estar doente é:
- A)
0,90
- B)
0,27
- C)
1/3
- D)
0,09
- E)
0,50
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Gabarito: letra C
Pelo teorema de Bayes, P(+) = 0,10 × 0,90 + 0,90 × 0,20 = 0,09 + 0,18 = 0,27, e P(D | +) = 0,09 / 0,27 = 1/3. A alternativa "0,90" é a armadilha, pois 0,90 é a sensibilidade P(+ | D), ou seja, a condicional no sentido inverso.
- A)