Teorema da probabilidade total e regra de Bayes

Partição e probabilidade total

Os eventos B₁, …, Bₙ formam partição quando são disjuntos dois a dois e sua união é o espaço amostral. A probabilidade de A soma as contribuições de cada caso: P(A) = P(A | B₁)·P(B₁) + … + P(A | Bₙ)·P(Bₙ).

Ex.: a máquina A produz 60% das peças, com 2% de defeito. A máquina B produz 40%, com 5% de defeito. P(defeito) = 0,6 × 0,02 + 0,4 × 0,05 = 0,012 + 0,020 = 0,032.

Regra de Bayes

Bayes inverte a condicional: dado que o resultado ocorreu, qual a probabilidade de cada origem? O numerador é o ramo da origem pedida; o denominador é a probabilidade total.

Ex.: na fábrica acima, a peça saiu defeituosa. P(B | defeito) = 0,020 ÷ 0,032 = 0,625. B produz menos peças, mas é a origem mais provável do defeito.

Testes e taxa-base

Em problemas de teste, a partição é "tem a condição" e "não tem". A probabilidade de um positivo ser verdadeiro depende da prevalência, e não só da qualidade do teste. Com condição rara, os falsos positivos dos muitos sadios superam os verdadeiros positivos dos poucos doentes.

Ex.: 5% dos candidatos usam certa droga. O teste dá positivo em 90% dos usuários e em 10% dos não usuários.

• P(+) = 0,90 × 0,05 + 0,10 × 0,95 = 0,045 + 0,095 = 0,14.
• P(usuário | +) = 0,045 ÷ 0,14 ≈ 0,32.
• Só cerca de um terço dos positivos é usuário.

Condicional invertida

P(A | B) e P(B | A) são coisas diferentes. Tomar uma pela outra é a falácia do promotor: tratar a probabilidade da evidência, dado que o réu é inocente, como se fosse a probabilidade de inocência, dada a evidência.

Ex.: P(positivo | usuário) = 0,90, mas P(usuário | positivo) ≈ 0,32. O item que conclui "90% dos positivos são usuários" inverteu a condicional.

Independência

A e B são independentes quando a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro: P(A | B) = P(A). Equivale a P(A ∩ B) = P(A)·P(B). Se A e B são independentes, também o são A e o complementar de B. Três eventos são mutuamente independentes quando a regra do produto vale para cada par e para o trio; a independência dois a dois não basta.

Ex.: P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 e P(A ∩ B) = 0,2. Como 0,5 × 0,4 = 0,2, A e B são independentes.

Exclusivos × independentes

Eventos mutuamente exclusivos não ocorrem juntos: P(A ∩ B) = 0. Se os dois têm probabilidade positiva, P(A)·P(B) > 0, e o produto não bate com a interseção. Logo, são dependentes: saber que um ocorreu garante que o outro não ocorreu.

Ex.: no lançamento de um dado, "sair par" e "sair 3" são exclusivos. Sabendo que saiu par, a probabilidade de ter saído 3 cai de 1/6 para zero.

Roteiro de resolução

1. Identifique a partição e anote as probabilidades a priori.
2. Anote as condicionais dadas no enunciado.
3. Calcule a probabilidade total do resultado.
4. Divida o ramo pedido pela probabilidade total.

Ex.: 1% das cédulas apreendidas é falsa. O detector acusa 99% das falsas e 2% das verdadeiras. P(acusar) = 0,01 × 0,99 + 0,99 × 0,02 = 0,0297. P(falsa | acusou) = 0,0099 ÷ 0,0297 = 1/3.