Questões de Variáveis aleatórias, esperança e variância

Errado. As variâncias não se subtraem, pois a incerteza das duas variáveis se acumula. Pela fórmula, Var(X − Y) = Var(X) + Var(Y) − 2·Cov(X, Y), e a independência torna a covariância nula, restando a soma.

Certo. Em variável contínua, probabilidade é área sob a densidade em um intervalo. Um único ponto não tem largura e, portanto, não forma área, resultando em P(X = a) = 0.

Certo. Pela fórmula Var(X) = E[X²] − (E[X])², tem-se 13 − 2² = 13 − 4 = 9. A variância é a diferença entre o momento de segunda ordem e o quadrado da esperança.

Errado. A implicação só vale no sentido inverso: independência implica covariância nula. Covariância zero, por si só, não garante independência, com exceção de casos especiais como o da normal bivariada.

Errado. Pela propriedade Var(aX + b) = a²·Var(X), tem-se 9 × 4 = 36. A constante 5 apenas desloca a variável e não altera a variância, de modo que o valor 41 está incorreto.

Certo. A igualdade E[X + Y] = E[X] + E[Y] vale sempre, mesmo que as variáveis sejam dependentes. Diferentemente da variância da soma, ela não exige independência nem covariância nula.

Certo. A constante b só desloca a variável e não altera a dispersão, enquanto o fator a muda a escala. Como a variância usa desvios ao quadrado, o efeito de a aparece como a².

Errado. A fórmula geral é Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2·Cov(X, Y). A variância da soma só iguala a soma das variâncias quando as variáveis são não correlacionadas, com covariância nula.

A esperança de variável discreta é a soma de cada valor multiplicado por sua probabilidade: 0 × 0,5 + 1 × 0,3 + 2 × 0,2 = 0 + 0,3 + 0,4 = 0,7. A alternativa "1,0" é a armadilha, pois 1,0 é a média simples dos valores 0, 1 e 2.