Variáveis aleatórias, esperança e variância

Variável aleatória discreta

Assume valores que se podem contar. A função de probabilidade p(x) = P(X = x) obedece a p(x) ≥ 0 e Σp(x) = 1.

Ex.: X = número de caras em 2 lançamentos de moeda honesta. p(0) = 0,25; p(1) = 0,50; p(2) = 0,25. A soma é 1.

Variável aleatória contínua

Assume qualquer valor de um intervalo. A função densidade f(x) obedece a f(x) ≥ 0, e a área total sob a curva vale 1. A probabilidade de um intervalo é a área sobre ele. Em um ponto isolado a área é zero: P(X = a) = 0. A densidade pode passar de 1; a área, não.

Ex.: X uniforme em [0; 0,5] tem densidade f(x) = 2 em todo o intervalo. A área é 0,5 × 2 = 1. P(X = 0,3) = 0 e P(0,1 < X < 0,3) = 0,2 × 2 = 0,4.

Função de distribuição acumulada

F(x) = P(X ≤ x). É não decrescente, vai de 0 a 1 e vale para discretas e contínuas. Dela sai a probabilidade de qualquer intervalo: P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a).

Ex.: no caso das duas moedas, F(0) = 0,25; F(1) = 0,75; F(2) = 1.

Esperança e momentos

A esperança é a média de longo prazo: E[X] = Σx·p(x) na discreta e ∫x·f(x)dx na contínua. Para uma função g: E[g(X)] = Σg(x)·p(x). Em geral, E[g(X)] ≠ g(E[X]). O k-ésimo momento é E[Xᵏ]; o momento central é E[(X − μ)ᵏ]. O segundo momento central é a variância; o terceiro mede assimetria; o quarto, curtose.

Ex.: dado honesto. E[X] = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) ÷ 6 = 3,5. E[X²] = (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) ÷ 6 = 91/6 ≈ 15,17, diferente de 3,5² = 12,25.

Variância

Var(X) = E[(X − μ)²] = E[X²] − (E[X])². Nunca é negativa. O desvio padrão é a raiz quadrada.

Ex.: dado honesto: Var = 15,17 − 12,25 ≈ 2,92. Se E[X] = 2 e E[X²] = 13: Var = 13 − 4 = 9.

Transformação linear

• E[aX + b] = a·E[X] + b.
• Var(aX + b) = a²·Var(X). A constante somada não altera a dispersão; o fator multiplicativo entra ao quadrado.

Ex.: Var(X) = 4. Var(3X + 5) = 9 × 4 = 36. Para o dado, Y = 2X + 1 tem E[Y] = 2 × 3,5 + 1 = 8 e Var(Y) = 4 × 2,92 ≈ 11,67.

Soma e diferença de variáveis

• E[X + Y] = E[X] + E[Y], sempre, com ou sem dependência.
• Var(X ± Y) = Var(X) + Var(Y) ± 2·Cov(X, Y).
• Se X e Y são independentes, Cov = 0, e Var(X + Y) = Var(X − Y) = Var(X) + Var(Y). Na diferença, as variâncias também se somam.

Ex.: X e Y independentes, com Var(X) = 4 e Var(Y) = 9. Var(X − Y) = 4 + 9 = 13.

Distribuição conjunta, condicional e independência

• Conjunta: p(x, y) = P(X = x, Y = y).
• Marginal: soma da conjunta sobre a outra variável.
• Condicional: p(x | y) = p(x, y)/p_Y(y).
• Independência: p(x, y) = p_X(x)·p_Y(y) para todos os pares. Daí E[XY] = E[X]·E[Y].
• Covariância: Cov(X, Y) = E[XY] − E[X]·E[Y].

Independência implica covariância zero. Covariância zero não garante independência; a exceção é a normal bivariada.

Ex.: X vale −1, 0 ou 1, com probabilidade 1/3 cada, e Y = X². E[X] = 0 e E[XY] = E[X³] = 0: covariância zero. Mas Y depende totalmente de X.

Transformação de variáveis

Dada Y = g(X), a distribuição de Y sai da de X. Na discreta, P(Y = y) soma as probabilidades dos x com g(x) = y. Na contínua com Y = aX + b: f_Y(y) = f_X((y − b)/a)/|a|.

Ex.: no caso anterior, Y = X². P(Y = 1) = P(X = −1) + P(X = 1) = 2/3 e P(Y = 0) = 1/3.