Questões de Esperança, momentos e esperança condicional
Estatística e Econometria, 14 questões com gabarito comentado
Para quaisquer variáveis aleatórias X e Y com esperanças finitas, E[X + Y] = E[X] + E[Y], ainda que X e Y sejam dependentes.
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Gabarito: Certo
Certo. A esperança é linear: E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y] + c, mesmo que X e Y sejam dependentes. A independência só entra quando se trata de produto ou de soma de variâncias.
Se Cov(X, Y) = 0, então X e Y são necessariamente independentes.
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Gabarito: Errado
Errado. Independência implica covariância nula, mas a recíproca não vale em geral: a covariância mede associação linear, de modo que pode ser zero mesmo com dependência entre as variáveis.
Pela lei das expectativas iteradas, a esperança da esperança condicional de Y dado X é igual à esperança de Y.
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Gabarito: Certo
Certo. Pela lei das expectativas iteradas, E[E[Y | X]] = E[Y]; a esperança condicional é função de X, e sua média em relação a X recupera a esperança incondicional de Y.
Sendo a e b constantes, Var(aX + b) = aVar(X) + b.
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Gabarito: Errado
Errado. A variância elimina a constante aditiva e eleva ao quadrado o fator multiplicativo: Var(aX + b) = a²Var(X). O item erra ao manter a sem quadrado e ao somar b.
A variância de Y pode ser decomposta na soma da esperança da variância condicional de Y dado X com a variância da esperança condicional de Y dado X.
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Gabarito: Certo
Certo. É a lei da variância total: Var(Y) = E[Var(Y | X)] + Var(E[Y | X]), que separa a variação média dentro de cada valor de X e a variação entre as médias condicionais.
Se E[X] = 2 e E[X²] = 7, a variância de X é igual a 3.
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Gabarito: Certo
Certo. Pela fórmula Var(X) = E[X²] − (E[X])², tem-se 7 − 2² = 7 − 4 = 3, de modo que a variância de X é igual a 3, como afirma o item.
A curtose da distribuição normal é igual a zero, quando medida pelo quarto momento padronizado.
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Gabarito: Errado
Errado. Pelo quarto momento padronizado, a curtose da normal é igual a 3. O valor zero corresponderia ao excesso de curtose, medida diferente da indicada no item.
Para quaisquer variáveis aleatórias X e Y, vale Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y).
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Gabarito: Errado
Errado. A fórmula geral é Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y). A simples soma das variâncias só é válida quando as variáveis não são correlacionadas.
Se Var(X) = 4, Var(Y) = 9 e Cov(X, Y) = −3, então Var(X + Y) = 7.
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Gabarito: Certo
Certo. Aplicando Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y), tem-se 4 + 9 + 2 × (−3) = 13 − 6 = 7, valor indicado no item, já com o termo de covariância negativa.
Sendo X uma variável aleatória, Var(3X + 5) = 9Var(X).
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Gabarito: Certo
Certo. Por Var(aX + b) = a²Var(X), a constante 5 não altera a variância, e o fator 3 entra ao quadrado; assim, Var(3X + 5) = 9Var(X).
Como o coeficiente de correlação mede qualquer forma de associação entre variáveis, correlação nula implica ausência de relação entre elas.
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Gabarito: Errado
Errado. A correlação mede apenas associação linear. Uma relação quadrática, por exemplo, pode apresentar correlação zero, de modo que correlação nula não implica ausência de relação.
A esperança condicional E[Y | X] é uma função de X e, por isso, é ela própria uma variável aleatória.
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Gabarito: Certo
Certo. Antes de X ser observado, E[Y | X] varia com X. Só depois de fixar X vira um número.
Para quaisquer variáveis aleatórias X e Y, vale E[XY] = E[X]E[Y].
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Gabarito: Errado
Errado. Como Cov(X, Y) = E[XY] − E[X]E[Y], a igualdade E[XY] = E[X]E[Y] só vale quando a covariância é nula, isto é, exige ao menos ausência de correlação.
Se X e Y são independentes, então Cov(X, Y) = 0.
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Gabarito: Certo
Certo. Se X e Y são independentes, E[XY] = E[X]E[Y] e, portanto, Cov(X, Y) = 0. A recíproca, contudo, não vale em geral, pois covariância nula não garante independência.