Esperança, momentos e esperança condicional

Esperança. É a média ponderada pelas probabilidades. É linear: E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y] + c, mesmo que X e Y sejam dependentes. Já E[XY] = E[X]E[Y] exige ao menos ausência de correlação.

Momentos. O momento de ordem k é E[Xᵏ]; o momento central é E[(X − μ)ᵏ]. O segundo central é a variância, Var(X) = E[X²] − (E[X])². O terceiro padronizado mede a assimetria, e o quarto padronizado, a curtose, igual a 3 na normal. A função geradora de momentos, quando existe, determina a distribuição.

Variância e covariância. Var(aX + b) = a²Var(X). Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y). Cov(X, Y) = E[XY] − E[X]E[Y]. A correlação fica entre −1 e 1 e mede apenas associação linear. Independência implica covariância nula; a volta não vale em geral.

Esperança condicional. E[Y | X] é uma função de X e, portanto, uma variável aleatória. A lei das expectativas iteradas dá E[E[Y | X]] = E[Y]. A variância total dá Var(Y) = E[Var(Y | X)] + Var(E[Y | X]). E[Y | X] é o melhor preditor de Y por X no critério de erro quadrático médio.