Análise combinatória — PFC, arranjo, permutação e combinação
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Cai no edital de PRF, Agente Administrativo PRF, Agente PF, Escrivão PF, Papiloscopista PF, Agente Administrativo PF, Polícia Penal Federal, Banco Central, Banco do Brasil, Receita Federal, Receita Federal, Detran, Detran-PR, Detran-DF
Para revisar
Resumo
Essência. Contar possibilidades sem listar. Tudo se resolve com o princípio fundamental da contagem e uma pergunta: trocar a ordem dos escolhidos gera um resultado diferente?
- PFC: etapas sucessivas e independentes → multiplique; casos alternativos ("ou") → some.
- Fatorial: n! = n·(n − 1)·…·1; 0! = 1.
- Permutação (todos, ordem importa): Pₙ = n!. Com repetição (anagramas com letras repetidas): n!/(a!·b!·…). Circular: (n − 1)!. Ex.: anagramas de PRF = 3! = 6; de ARARA = 5!/(3!·2!) = 10.
- Arranjo (parte, ordem importa): A(n,p) = n!/(n − p)!. Ex.: pódio de 3 entre 10 = 10·9·8 = 720.
- Combinação (parte, ordem não importa): C(n,p) = n!/[p!(n − p)!].
- Atalho: C(n,p) = C(n, n − p) → C(8,5) = C(8,3) = 56.
- Método: escolhe todos ou parte? A ordem ou a função distingue os resultados? Trate primeiro as restrições (alguém fixo, dois juntos).
Exceções e distinções. Comissão, equipe, grupo sem cargos, aposta → combinação. Cargos distintos, pódio, senha, placa → arranjo ou PFC. Fila com todos ou anagrama → permutação. Equipe de 3 entre 8 sem funções: C(8,3) = 56; com funções distintas: A(8,3) = 336.
Pegadinha Cebraspe. Usar arranjo (336) quando o enunciado diz "sem distinção de função" → errado: é combinação (56).
Lembre também: palavras que decidem o item: "distintas funções", "ordem de chegada", "sem reposição"; troca de "e" (multiplica) por "ou" (soma).
Visão geral
Contar possibilidades sem listar. Todo item se resolve com o princípio fundamental da contagem (PFC) e a pergunta: trocar a ordem dos escolhidos gera um resultado diferente?
Regra
Ver íntegra
- PFC (multiplicativo): etapas sucessivas e independentes → multiplique as possibilidades de cada etapa. Casos alternativos ("ou") → some. Ex.: 3 camisas e 4 calças → 12 trajes.
- Fatorial: n! = n·(n − 1)·...·1; 0! = 1. Ex.: 4! = 24.
- Permutação simples (todos, ordem importa): Pₙ = n!
- Permutação com repetição: n!/(a!·b!·...) (anagramas com letras repetidas).
- Arranjo (parte, ordem importa): A(n,p) = n!/(n − p)!
- Combinação (parte, ordem não importa): C(n,p) = n!/[p!(n − p)!] (ex.: duplas entre 5 pessoas = C(5,2) = 10)
Método
- Escolhe todos ou parte? 2. A ordem/função distingue os resultados? Sim → arranjo/permutação; não → combinação. 3. Há restrição (alguém fixo, dois juntos)? Trate primeiro a restrição.
Pontos-chave
Exemplos resolvidos
- Equipe de 3 entre 8, sem distinção de função: C(8,3) = (8·7·6)/(3·2·1) = 56.
- Se houvesse funções distintas (motorista, chefe, auxiliar): A(8,3) = 8·7·6 = 336.
- Equipe de 3 entre 7: C(7,3) = 35.
| Situação | Ferramenta |
|---|---|
| Comissão, equipe, grupo sem cargos | Combinação |
| Cargos distintos, pódio, senha, placa | Arranjo / PFC |
| Fila com todos, anagrama | Permutação |
| Letras repetidas | Permutação com repetição |
Atalho: C(n,p) = C(n, n − p) → C(8,5) = C(8,3) = 56.
Aprofundamento
Princípio fundamental da contagem (PFC): etapas independentes → multiplique as possibilidades; casos excludentes ("ou") → some.
| Situação | Ordem importa? | Fórmula |
|---|---|---|
| Permutação (todos) | sim | Pₙ = n! |
| Permutação com repetição | sim | n!/(a!·b!·…) — anagramas com letras repetidas |
| Arranjo (p de n) | sim | Aₙ,ₚ = n!/(n − p)! |
| Combinação (p de n) | não | Cₙ,ₚ = n!/[p!(n − p)!] |
| Permutação circular | — | (n − 1)! |
- Teste: trocar a ordem dos escolhidos gera um resultado diferente? Sim → arranjo; não → combinação (comissões, grupos, apostas).
- Restrições: comece pela etapa restrita; "pelo menos um" = total − nenhum.
Exemplos
- Placas com 3 letras (26) e 4 algarismos (10), com repetição: 26³·10⁴ = 175.760.000.
- Comissão de 3 agentes entre 8: C₈,₃ = 56. Presidente, vice e secretário entre 8: A₈,₃ = 336.
- Anagramas de PRF: 3! = 6; de RODOVIA (O repetido 2 vezes): 7!/2! = 2.520.
Como a banca cobra
- "Sem distinção de função" → combinação; item que usa arranjo (336) está errado.
- Troca "e" (multiplica) por "ou" (soma).
- Detalhe que torna o item errado: uma palavra do enunciado — "distintas funções", "ordem de chegada", "sem reposição".
Revisão rápida
- Etapas em sequência: multiplica; alternativas: soma.
- Ordem importa → arranjo; não importa → combinação.
- C(n,p) = n!/[p!(n−p)!]; A(n,p) = n!/(n−p)!.
- C(n,p) = C(n,n−p).
- Restrição primeiro, depois o resto.
Referência
Mapa mental
Princípio fundamental da contagem
- Etapas ("e"): multiplica
- Alternativas ("ou"): soma
Fatorial
- n! = n·(n−1)·…·1
- 0! = 1
Permutação (todos)
- Simples: n!
- Com repetição: n!/(a!·b!…)
- Circular: (n−1)!
Arranjo (parte, ordem importa)
- A(n,p) = n!/(n−p)!
- Cargos, pódio, senha
Combinação (parte, ordem não importa)
- C(n,p) = n!/[p!(n−p)!]
- Comissão, equipe, aposta
- C(n,p) = C(n, n−p)
Método
- Todos ou parte?
- A ordem distingue?
- Restrições primeiro
⚠️ Pegadinha
- "Sem distinção de função": C(8,3) = 56, não 336
Questão 1, PRF, Certo ou Errado
Para compor uma escala de fiscalização, um chefe de posto da PRF deve selecionar uma equipe de 3 policiais dentre 8 disponíveis, sem distinção de função dentro da equipe. Nessa situação, o número de equipes distintas que podem ser formadas é igual a 56.
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Gabarito: Certo
Certo. Como a ordem não importa dentro da equipe, o número de equipes é dado pela combinação C(8,3) = 8!/(3!×5!) = (8×7×6)/(3×2×1) = 336/6 = 56.
Questão 2, PRF, Certo ou Errado
Uma equipe de blitz será formada por 3 policiais escolhidos entre 7 disponíveis em um posto da PRF. Nessa situação, o número de equipes distintas possíveis é igual a 35.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. Como a ordem de escolha não importa, o número de equipes é C(7,3) = 7!/(3!·4!) = 35, confirmando o item.
Questão 3, PRF, Certo ou Errado
Para ocupar as funções de chefe, motorista e auxiliar de uma equipe de fiscalização, devem ser escolhidos 3 policiais distintos entre 6 disponíveis, cada um em uma função. Nessa situação, o número de maneiras distintas de compor a equipe é igual a 20.
Revelar gabarito
Gabarito: Errado
Errado. Como as funções são distintas, a ordem importa: arranjo A(6,3) = 6 · 5 · 4 = 120. O valor 20 corresponde a C(6,3) = 120/3! = 20, que só valeria se não houvesse distinção de função.
Questão 4, PRF, Certo ou Errado
O número de anagramas distintos da palavra PATRULHA é igual a 40.320.
Revelar gabarito
Gabarito: Errado
Errado. PATRULHA tem 8 letras, com a letra A repetida 2 vezes. Permutação com repetição: 8!/2! = 40.320/2 = 20.160. O valor 40.320 (= 8!) ignora a repetição do A.
Questão 5, PRF, Certo ou Errado
Um código interno de identificação de viaturas é formado por 2 letras, escolhidas entre as 26 do alfabeto, seguidas de 3 algarismos, de 0 a 9, sendo permitida a repetição de letras e de algarismos. Nessa situação, o número de códigos distintos possíveis é igual a 676.000.
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Gabarito: Certo
Certo. Pelo princípio fundamental da contagem: 26 · 26 · 10 · 10 · 10 = 676 · 1.000 = 676.000.
- Revelar resposta
Diferença entre arranjo e combinação — qual a pergunta-chave pra escolher a fórmula certa?
Trocar a ordem dos elementos escolhidos gera um resultado diferente? Se sim, use arranjo/permutação; se não, use combinação.
- Revelar resposta
Como contar anagramas de uma palavra com letras repetidas?
n! / (a!·b!·…), dividindo pelo fatorial de cada repetição. Ex.: PATRULHA (8 letras, A×2) = 8!/2! = 20.160. Pegadinha: usar só n! ignorando a repetição.
- Revelar resposta
Princípio fundamental da contagem: como contar códigos/senhas formados por etapas?
Multiplica-se o número de opções de cada posição. Com repetição: cada posição tem todas as opções (ex.: 2 letras + 3 algarismos = 26·26·10·10·10 = 676.000); sem repetição, as opções diminuem a cada posição. Pegadinha: somar em vez de multiplicar ou tirar opções quando a repetição é permitida.
- Revelar resposta
Quantas disposições de n pessoas em torno de uma mesa redonda?
Permutação circular: (n − 1)! (rotações são consideradas iguais). Ex.: 5 pessoas → 4! = 24. Pegadinha: usar n! (= 120).
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