Probabilidade
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Cai no edital de PRF, Agente Administrativo PRF, Agente PF, Escrivão PF, Papiloscopista PF, Agente Administrativo PF, Polícia Penal Federal, Banco Central, Caixa Econômica Federal, Concurso Nacional Unificado, Banco Central, Receita Federal, Receita Federal, Detran, Detran-PR, Detran-DF
Para revisar
Resumo
Essência. Espaço equiprovável: P(A) = favoráveis/possíveis, com 0 ≤ P ≤ 1. O item compara o resultado com um percentual ou fração; converta antes de comparar.
- Complementar: P(não A) = 1 − P(A) → use em "pelo menos um" = 1 − P(nenhum).
- União ("ou"): P(A) + P(B) − P(A ∩ B); excludentes, só some.
- Interseção ("e"): P(A)·P(B | A); independentes, P(A)·P(B).
- Condicional ("dado que"): P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B): o espaço encolhe para B.
- Sem reposição: o denominador diminui (eventos dependentes). Com reposição: independentes.
- Binomial: P(k sucessos) = C(n,k)·pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
- Método: defina o total, conte os favoráveis (PFC ou combinação) ou multiplique etapa a etapa.
Exceções e distinções. 4 caminhões, 3 ônibus, 5 automóveis → P(ônibus) = 3/12 = 25%. 10 veículos, 4 irregulares, 2 sem reposição: C(4,2)/C(10,2) = 2/15 = 4/10 × 3/9. Pelo menos um irregular: 1 − 15/45 = 2/3.
Pegadinha Cebraspe. Sorteio sem reposição calculado como 4/10 × 4/10 → errado.
Lembre também: total do espaço amostral = soma de todos os grupos; condicional dividida pelo total em vez de pelo evento dado.
Visão geral
Em espaço amostral equiprovável: P(A) = casos favoráveis / casos possíveis, com 0 ≤ P ≤ 1. O Cebraspe compara o resultado com um percentual ("superior a 30%") ou uma fração.
Regra
Ver íntegra
- Complementar: P(não A) = 1 − P(A). Use em "pelo menos um". Ex.: 2 moedas, pelo menos uma cara → 1 − 1/4 = 3/4.
- União: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B); se mutuamente exclusivos, some. Ex.: copas ou rei → 13/52 + 4/52 − 1/52 = 16/52.
- Interseção (e): P(A ∩ B) = P(A)·P(B | A). Se independentes, P(A)·P(B).
- Condicional: P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) — o espaço amostral encolhe para B. Ex.: sabendo que o dado deu par, P(6) = 1/3.
- Sem reposição: o 2º sorteio tem um elemento a menos (dependentes). Com reposição: independentes.
Método
- Defina o espaço amostral (total).
- Conte os favoráveis (PFC/combinação).
- Para sorteios sucessivos, multiplique as probabilidades etapa a etapa ou use combinações.
Pontos-chave
Exemplos resolvidos
- 4 caminhões, 3 ônibus, 5 automóveis: P(ônibus) = 3/12 = 25% (não é superior a 30%).
- 10 veículos, 4 irregulares, 2 escolhidos sem reposição: C(4,2)/C(10,2) = 6/45 = 2/15. Etapa a etapa: 4/10 × 3/9 = 12/90 = 2/15 ✔.
- "Pelo menos um irregular": 1 − C(6,2)/C(10,2) = 1 − 15/45 = 2/3.
| Palavra-chave | Operação |
|---|---|
| "e", "ambos" | multiplica |
| "ou" | soma (tirando a interseção) |
| "pelo menos um" | 1 − P(nenhum) |
| "dado que", "sabendo que" | condicional |
Aprofundamento
Definição clássica: P(A) = casos favoráveis / casos possíveis (equiprováveis). 0 ≤ P ≤ 1; P(não A) = 1 − P(A).
- União: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) (excludentes: só some).
- Condicional: P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B) — "dado que B ocorreu", o espaço amostral encolhe para B.
- Independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B). Sucessivos sem reposição: multiplique, atualizando o total.
- "Pelo menos um": 1 − P(nenhum).
- Binomial (n tentativas independentes, sucesso p): P(k sucessos) = Cₙ,ₖ·pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Exemplos
- De 10 veículos abordados, 3 irregulares; sorteando 2 sem reposição, P(ambos irregulares) = 3/10·2/9 = 1/15.
- Etilômetro acusa positivo com 2% de chance em cada um de 3 testes independentes: P(ao menos um positivo) = 1 − 0,98³ ≈ 5,9%.
- Tabela de dupla entrada: P(motorista profissional | autuado) = (autuados profissionais)/(total de autuados).
Como a banca cobra
- Sorteio sem reposição calculado como se fosse com reposição (4/10 × 4/10): errado.
- Condicional calculada sobre o total em vez de sobre o evento dado.
- Detalhe que torna o item errado: o total do espaço amostral (somar todos os grupos) e a palavra "reposição".
Revisão rápida
- P = favoráveis/possíveis.
- "Pelo menos um" → complementar.
- União: soma menos interseção.
- Sem reposição: denominador diminui.
- Condicional: divida pela probabilidade da condição.
- Converter fração em % antes de comparar.
Mapa mental
Definição
- Favoráveis ÷ possíveis
- 0 ≤ P ≤ 1
Complementar
- Pelo menos um = 1 − P(nenhum)
União ("ou")
- Soma menos interseção
Interseção ("e")
- Independentes: multiplica
Condicional
- P(A ∩ B) ÷ P(B)
- Espaço amostral encolhe
Reposição
- Sem: denominador diminui
- Com: independentes
Binomial
- C(n,k)·pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ
⚠️ Pegadinha
- Sem reposição como 4/10 × 4/10 → errado
Questão 1, PRF, Certo ou Errado
Em uma barreira de fiscalização, os veículos abordados são sorteados aleatoriamente para inspeção detalhada dentre os que passam pelo local. Em determinado intervalo, passaram 4 caminhões, 3 ônibus e 5 automóveis, todos com a mesma chance de serem sorteados. Nessa situação, a probabilidade de que o veículo sorteado seja um ônibus é superior a 30%.
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Gabarito: Errado
Errado. O total de veículos é 4+3+5=12, e a probabilidade de sorteio de um ônibus é 3/12=0,25=25%, que não é superior a 30%.
Questão 2, PRF, Certo ou Errado
Em um lote de 10 veículos abordados em uma fiscalização, 4 apresentavam alguma irregularidade documental. Escolhendo-se aleatoriamente 2 desses veículos, sem reposição, a probabilidade de que ambos apresentem irregularidade documental é igual a 2/15.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. Sem reposição, os casos favoráveis são C(4,2) = 6 pares irregulares entre C(10,2) = 45 pares possíveis, de modo que P = 6/45 = 2/15, a probabilidade indicada no item.
Questão 3, PRF, Certo ou Errado
Em um lote de 8 veículos retidos em uma fiscalização, 3 apresentam irregularidade no tacógrafo. Dois desses veículos serão escolhidos aleatoriamente, sem reposição, para perícia.
A probabilidade de que pelo menos um dos veículos escolhidos apresente irregularidade no tacógrafo é superior a 60%.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. P(nenhum irregular) = C(5,2)/C(8,2) = 10/28 = 5/14 (ou 5/8 × 4/7 = 20/56 = 5/14). P(pelo menos um) = 1 − 5/14 = 9/14 ≈ 64,3% > 60%.
Questão 4, PRF, Certo ou Errado
Em um lote de 8 veículos retidos em uma fiscalização, 3 apresentam irregularidade no tacógrafo. Dois desses veículos serão escolhidos aleatoriamente, sem reposição, para perícia.
A probabilidade de que ambos os veículos escolhidos apresentem irregularidade no tacógrafo é igual a 9/64.
Revelar gabarito
Gabarito: Errado
Errado. Sem reposição: 3/8 × 2/7 = 6/56 = 3/28 (ou C(3,2)/C(8,2) = 3/28). O valor 9/64 = 3/8 × 3/8 seria o cálculo com reposição.
Questão 5, PRF, Certo ou Errado
A tabela a seguir apresenta, hipoteticamente, a distribuição de 200 motoristas autuados em uma operação, segundo o tipo de motorista e a infração cometida.
Excesso de velocidade Outras infrações Total Profissionais 30 50 80 Não profissionais 60 60 120 Total 90 110 200 Sorteando-se ao acaso um dos motoristas autuados por excesso de velocidade, a probabilidade de que ele seja motorista profissional é igual a 15%.
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Gabarito: Errado
Errado. O espaço amostral encolhe para os 90 autuados por excesso de velocidade: P(profissional | excesso) = 30/90 = 1/3 ≈ 33,3%. O valor 15% (= 30/200) divide pelo total geral, e não pelo evento dado.
- Revelar resposta
Como calcular uma probabilidade em sorteio equiprovável — e o que muda "sem reposição"?
P = casos favoráveis / casos possíveis (total = soma de todos os grupos). Sorteios sucessivos: "e" → multiplica; sem reposição o denominador diminui (ex.: 4/10 × 3/9), ou use C(fav, k)/C(total, k). Pegadinha: calcular sem reposição como se fosse com reposição.
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Como calcular a probabilidade de "pelo menos um"?
Pelo complementar: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Eventos independentes: P(nenhum) = produto das probabilidades de não ocorrer (ex.: 1 − 0,8·0,8 = 0,36). Pegadinha: somar as probabilidades (20% + 20% = 40%).
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Probabilidade condicional em tabela de dupla entrada: qual o denominador?
P(A | B) = n(A∩B) / n(B): o espaço amostral encolhe para o evento dado ("entre os que…"). Ex.: profissionais entre os 90 com excesso = 30/90 = 1/3. Pegadinha: dividir pelo total geral (30/200).
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Como calcular uma probabilidade em sorteio equiprovável — e o que muda "sem reposição"?
P = casos favoráveis / casos possíveis (total = soma de todos os grupos). Sorteios sucessivos: "e" → multiplica; sem reposição o denominador diminui (ex.: 4/10 × 3/9), ou use C(fav, k)/C(total, k). Pegadinha: calcular sem reposição como se fosse com reposição.
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