Teoria dos conjuntos e diagramas de Venn
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Cai no edital de PRF, Agente Administrativo PRF, Agente PF, Escrivão PF, Papiloscopista PF, Agente Administrativo PF, Polícia Penal Federal, INSS, Banco Central, Banco do Brasil, Receita Federal, Receita Federal, Detran, Detran-PR, Detran-DF
Para revisar
Resumo
Essência. Problemas de "quantos fizeram A, B, ambos, nenhum". A ferramenta é o diagrama de Venn, preenchido de dentro para fora: primeiro a interseção.
- Dois conjuntos: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B).
- Três conjuntos: soma os três, tira as interseções duplas, devolve a tripla.
- Nenhum = total − n(união).
- Só A (apenas A) = n(A) − n(A ∩ B).
- Operações: união (ou), interseção (e), diferença A − B (só A), complementar (fora de A).
- Subconjuntos: conjunto com n elementos tem 2ⁿ subconjuntos (inclui ∅ e ele mesmo).
- Conjuntos numéricos: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ; irracionais = ℝ − ℚ (√2, π).
Exceções e distinções. 40 policiais; 25 em direção defensiva, 20 em tiro, 10 nos dois → união 35 → nenhum 5; só direção 15, só tiro 10. 60 motoristas; 35 com CNH, 28 com CRLV, 15 com os dois → nenhum 12.
Pegadinha Cebraspe. Somar os conjuntos sem descontar a interseção (25 + 20 = 45, mais que o total de 40) → errado.
Lembre também: a palavra "apenas" ou "somente" muda a região pedida; confira se a soma das regiões fecha com o total.
Visão geral
Problemas de "quantos fizeram A, B, ambos, nenhum". Ferramenta: diagrama de Venn, preenchido de dentro para fora (primeiro a interseção).
Regra
Ver íntegra
- Dois conjuntos: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B). Ex.: 25 + 20 − 10 = 35.
- Três conjuntos: n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A∩B) − n(A∩C) − n(B∩C) + n(A∩B∩C).
- Nenhum = total − n(união).
- Só A = n(A) − n(A ∩ B).
- Operações: união (ou), interseção (e), diferença A − B (só A), complementar (fora de A).
- Nº de subconjuntos de um conjunto com n elementos: 2ⁿ. Ex.: {a, b, c} → 8.
Método
- Coloque a interseção no centro.
- Desconte-a de cada conjunto para achar os "só".
- Some as regiões e compare com o total.
Pontos-chave
Exemplos resolvidos
- 40 policiais; 25 direção defensiva, 20 tiro, 10 ambos → união 35 → nenhum = 5. Só direção = 15; só tiro = 10.
- 60 motoristas; 35 CNH, 28 CRLV, 15 ambos → união 48 → nenhum = 12.
Aprofundamento
- Operações: união A ∪ B (está em A ou B), interseção A ∩ B (em ambos), diferença A − B (em A e não em B), complementar.
- Contagem: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B); com três conjuntos: n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A∩B) − n(A∩C) − n(B∩C) + n(A∩B∩C).
- Diagrama de Venn: preencha de dentro para fora (comece pela interseção de todos).
- Subconjuntos: conjunto com n elementos tem 2ⁿ subconjuntos (incluindo ∅ e ele mesmo).
- Conjuntos numéricos: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ; irracionais = ℝ − ℚ (√2, π).
Exemplo: em 200 condutores, 120 sem cinto, 70 ao celular, 30 nas duas infrações. Pelo menos uma: 120 + 70 − 30 = 160; nenhuma: 40; só celular: 40.
Exemplo (três conjuntos): preencha a interseção tripla, depois as duplas descontando a tripla, depois os "só A", "só B", "só C".
Como a banca cobra
- Soma os conjuntos sem descontar a interseção (25 + 20 = 45 > 40).
- Confunde "só A" com "A".
- Detalhe que torna o item errado: a palavra "apenas"/"somente" versus o total do conjunto.
Revisão rápida
- União = A + B − interseção.
- Nenhum = total − união.
- Venn de dentro para fora.
- "Apenas A" = A − interseção.
- 3 conjuntos: soma, tira as duplas, volta a tripla.
Referência
Fontes consultadas (2)
Mapa mental
Diagrama de Venn
- Preencher de dentro para fora
- Interseção primeiro
Fórmulas
- União: A + B − interseção
- Três: soma, tira duplas, devolve tripla
- Nenhum: total − união
- Só A: A − interseção
Operações
- União (ou), interseção (e)
- Diferença e complementar
Subconjuntos
- 2ⁿ subconjuntos
Numéricos
- ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
- Irracionais: √2, π
⚠️ Pegadinha
- Somar sem tirar a interseção → errado
Questão 1, PRF, Certo ou Errado
Em um posto da PRF, 40 policiais concluíram cursos de capacitação: 25 concluíram o curso de direção defensiva, 20 concluíram o curso de armamento e tiro, e 10 concluíram ambos os cursos. Nessa situação, o número de policiais que não concluíram nenhum dos dois cursos é igual a 5.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. Pelo princípio da inclusão-exclusão, |A∪B| = 25+20−10=35. Como o total de policiais é 40, os que não concluíram nenhum dos dois cursos são 40−35=5.
Questão 2, PRF, Certo ou Errado
Em uma fiscalização, 60 motoristas foram abordados; 35 estavam com a CNH em dia, 28 estavam com o CRLV em dia, e 15 motoristas possuíam ambos os documentos em dia. Nessa situação, o número de motoristas que não estavam com nenhum dos dois documentos em dia foi igual a 12.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. Pela inclusão-exclusão, |CNH ∪ CRLV| = 35 + 28 − 15 = 48; logo, os que não tinham nenhum dos dois documentos em dia somam 60 − 48 = 12, confirmando o item.
Questão 3, PRF, Certo ou Errado
Em uma operação da PRF, foram fiscalizados 90 veículos. Desses, 50 apresentaram irregularidade documental, 30 apresentaram irregularidade em equipamentos obrigatórios e 12 apresentaram os dois tipos de irregularidade.
Nessa situação, o número de veículos que apresentaram somente irregularidade documental é igual a 50.
Revelar gabarito
Gabarito: Errado
Errado. Somente documental = 50 − 12 = 38. O valor 50 é o total com irregularidade documental, incluindo os 12 que também tinham irregularidade em equipamentos.
Questão 4, PRF, Certo ou Errado
Em uma operação da PRF, foram fiscalizados 90 veículos. Desses, 50 apresentaram irregularidade documental, 30 apresentaram irregularidade em equipamentos obrigatórios e 12 apresentaram os dois tipos de irregularidade.
Nessa situação, o número de veículos que apresentaram pelo menos um dos dois tipos de irregularidade é igual a 68.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. n(A ∪ B) = 50 + 30 − 12 = 68. Conferência pelas regiões: só documental 38 + só equipamentos 18 + ambos 12 = 68 (e 90 − 68 = 22 sem irregularidade).
Questão 5, PRF, Certo ou Errado
Em uma superintendência da PRF com 100 policiais, 45 fizeram o curso de primeiros socorros, 40 fizeram o curso de tiro e 35 fizeram o curso de direção defensiva. Sabe-se ainda que 15 fizeram primeiros socorros e tiro, 10 fizeram primeiros socorros e direção defensiva, 12 fizeram tiro e direção defensiva, e 5 fizeram os três cursos.
Nessa situação, o número de policiais que não fizeram nenhum dos três cursos é igual a 12.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. União = 45 + 40 + 35 − 15 − 10 − 12 + 5 = 120 − 37 + 5 = 88; nenhum = 100 − 88 = 12. Conferência pelas regiões: só socorros 25, só tiro 18, só direção 18, socorros e tiro apenas 10, socorros e direção apenas 5, tiro e direção apenas 7, os três 5 → 25 + 18 + 18 + 10 + 5 + 7 + 5 = 88.
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Qual o princípio da inclusão-exclusão para dois conjuntos?
|A∪B| = |A| + |B| − |A∩B|
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Diagrama de Venn: como achar quantos estão "somente em A"?
Somente A = n(A) − n(A∩B) (com 3 conjuntos, desconte as interseções e devolva a tripla). Preencha o diagrama de dentro para fora: interseção primeiro. Pegadinha: tomar n(A) como "somente A".
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Qual a inclusão-exclusão para três conjuntos?
n(A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A∩B) − n(A∩C) − n(B∩C) + n(A∩B∩C). "Nenhum" = total − união. Pegadinha: esquecer de somar de volta a interseção tripla.
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Quantos subconjuntos tem um conjunto de n elementos?
2ⁿ (incluindo o vazio e o próprio conjunto). Ex.: n = 5 → 32. Pegadinha: calcular n² (= 25).
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Qual o princípio da inclusão-exclusão para dois conjuntos?
|A∪B| = |A| + |B| − |A∩B|
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