Sequências numéricas, PA e PG
4 min de leituraPodcast5 questões
Cai no edital de PRF, Agente Administrativo PRF, TJ-SP, Banco do Brasil, Caixa Econômica Federal, Receita Federal, Receita Federal, Detran, Detran-PR, Detran-DF
Para revisar
Resumo
Essência. O Cebraspe dá um padrão em texto ou números e pede um termo, uma soma ou se é PA/PG. Armadilha central: acumulado × por período.
- PA (soma r): aₙ = a₁ + **(n − 1)**r; Sₙ = (a₁ + aₙ)·n/2; termo do meio = média dos vizinhos.
- PG (multiplica q): aₙ = a₁·qⁿ⁻¹; Sₙ = a₁(qⁿ − 1)/(q − 1); infinita com |q| < 1: S = a₁/(1 − q); termo médio² = produto dos vizinhos.
- Recorrência: "+k" é PA; "×k" é PG.
- Identificar: diferenças constantes → PA; quocientes constantes → PG.
- Acumulados: a sequência por período é a das diferenças.
Exceções e distinções. Acumulados 20, 60, 120, 200, 300 → por hora 20, 40, 60, 80, 100 (PA de razão 20); os acumulados não formam PA. Radares a cada 12 km a partir do km 30: 15º no km 198. (2, 6, 18, …): a₇ = 1.458. Intercalada 25, 75, 50, 150, 100, 300 não é PA nem monótona.
Pegadinha Cebraspe. "Os totais acumulados formam PA" quando só as diferenças formam → errado.
Lembre também: expoente trocado (qⁿ em vez de qⁿ⁻¹; n·r em vez de (n − 1)r); a₁₀ com a₁ = 3 e r = 4 é 39.
Visão geral
Sequência é uma lista ordenada (a₁, a₂, ...). O Cebraspe apresenta um padrão em texto ou em números e pergunta um termo, uma soma ou se a sequência é PA/PG. Armadilha central: acumulado × por período.
Regra
Ver íntegra
Progressão aritmética (PA) — soma-se a razão r.
- aₙ = a₁ + (n − 1)·r (ex.: 3, 7, 11… → a₁₀ = 3 + 9·4 = 39)
- Sₙ = (a₁ + aₙ)·n / 2 (ex.: 1 + 2 + … + 100 = 5.050)
- Termo do meio = média dos vizinhos.
Progressão geométrica (PG) — multiplica-se pela razão q.
- aₙ = a₁·qⁿ⁻¹ (ex.: 2, 6, 18… → a₅ = 2·3⁴ = 162)
- Sₙ = a₁·(qⁿ − 1)/(q − 1), q ≠ 1
- PG infinita com |q| < 1: S = a₁/(1 − q). Ex.: 1 + 1/2 + 1/4 + … = 2.
Sequência por recorrência: a(n+1) = a(n) + 4 → PA de razão 4; a(n+1) = 3·a(n) → PG de razão 3.
Método
- Calcule as diferenças entre termos consecutivos. Constantes → PA.
- Se não, calcule os quocientes. Constantes → PG.
- Se o texto dá totais acumulados, a sequência por período é a das diferenças.
Pontos-chave
Exemplos resolvidos
- Acumulados 20, 60, 120, 200, 300 → por hora: 20, 40, 60, 80, 100 → PA de razão 20 (qₙ = 20n). Os acumulados não formam PA; são somas de PA: Sₙ = 10n(n + 1).
- a₁ = 3, r = 4: a₁₀ = 3 + 9·4 = 39.
- (2, 6, 18, 54, ...): a₇ = 2·3⁶ = 2·729 = 1.458.
| PA | PG | |
|---|---|---|
| Passo | + r | × q |
| Termo geral | a₁ + (n−1)r | a₁·qⁿ⁻¹ |
| Soma finita | (a₁ + aₙ)n/2 | a₁(qⁿ − 1)/(q − 1) |
Aprofundamento
PA (razão r): aₙ = a₁ + (n − 1)r; soma Sₙ = (a₁ + aₙ)·n/2. Termo médio = média dos vizinhos. Três termos em PA: (x − r, x, x + r).
PG (razão q): aₙ = a₁·qⁿ⁻¹; soma finita Sₙ = a₁(qⁿ − 1)/(q − 1); infinita (|q| < 1): S = a₁/(1 − q). Três termos em PG: (x/q, x, xq); termo médio² = produto dos vizinhos.
Exemplo (PA): radares instalados a cada 12 km a partir do km 30: o 15º radar está no km 30 + 14·12 = 198. Soma das posições dos 15: (30 + 198)·15/2 = 1.710.
Exemplo (PG): notificações dobram a cada dia a partir de 5: no 8º dia, 5·2⁷ = 640; total em 8 dias: 5(2⁸ − 1) = 1.275.
Juros: simples ↔ PA (cresce somando); compostos ↔ PG (cresce multiplicando).
Como a banca cobra
- Dá totais acumulados e pergunta sobre a sequência por período (ou vice-versa).
- Troca o expoente: usa qⁿ em vez de qⁿ⁻¹ (ou n·r em vez de (n − 1)·r).
- Sequência intercalada (duas sequências alternadas): 25, 75, 50, 150, 100, 300, … — termos ímpares 25, 50, 100, … e pares 75, 150, 300, … (cada um dobra: aₙ = 2·aₙ₋₂). Não é monótona, logo não é PA nem pontos de função afim crescente.
- Detalhe que torna o item errado: afirmar que os acumulados formam PA quando só as diferenças formam.
Revisão rápida
- Diferenças constantes → PA; quocientes constantes → PG.
- aₙ = a₁ + (n − 1)r; aₙ = a₁qⁿ⁻¹.
- Soma PA = (primeiro + último) × n / 2.
- Acumulado ≠ por período: subtraia termos consecutivos.
- Recorrência "+k" é PA; "×k" é PG.
Referência
Mapa mental
PA
- aₙ = a₁ + (n−1)r
- Sₙ = (a₁ + aₙ)n/2
- Termo médio = média dos vizinhos
PG
- aₙ = a₁·qⁿ⁻¹
- Sₙ = a₁(qⁿ − 1)/(q − 1)
- Infinita: a₁/(1 − q)
Identificar
- Diferenças constantes: PA
- Quocientes constantes: PG
Acumulado × por período
- Por período: diferenças
⚠️ Pegadinha
- Acumulados formam PA → errado
Questão 1, PRF, Certo ou Errado
Uma sequência numérica é definida por a₁ = 3 e a(n+1) = a(n) + 4, para n ≥ 1. Nessa sequência, o termo a₁₀ é igual a 39.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. É uma progressão aritmética de razão 4: a₁₀ = a₁ + 9·4 = 3 + 36 = 39, confirmando o item.
Questão 2, PRF, Certo ou Errado
Considere a sequência (2, 6, 18, 54, ...), em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando-se o termo anterior por 3. O sétimo termo dessa sequência é igual a 1.458.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. A sequência é uma progressão geométrica de primeiro termo 2 e razão 3, e pelo termo geral a₇ = a₁ · q⁶ = 2 · 729 = 1.458, valor afirmado no item.
Questão 3, Agente Administrativo PRF, Múltipla escolha
Em uma progressão aritmética, o primeiro termo é 5 e a razão é 3. O 20.º termo dessa progressão é:
- A)
60
- B)
65
- C)
57
- D)
62
- E)
63
Revelar gabarito
Gabarito: letra D
Termo geral: aₙ = a₁ + (n − 1)·r, então a₂₀ = 5 + 19 · 3 = 5 + 57 = 62. Usar n em vez de n − 1 dá 5 + 60 = 65 (B), e esquecer o primeiro termo dá 57 (C).
- A)
Questão 4, Agente Administrativo PRF, Múltipla escolha
Na progressão geométrica 3, 6, 12, …, o sexto termo é:
- A)
48
- B)
96
- C)
192
- D)
72
- E)
64
Revelar gabarito
Gabarito: letra B
A razão é q = 2, e aₙ = a₁·qⁿ⁻¹, então a₆ = 3·2⁵ = 3·32 = 96. Usar 2⁴ dá 48 (A), que é o 5.º termo; usar 2⁶ dá 192 (C), que é o 7.º termo.
- A)
Questão 5, Agente Administrativo PRF, Múltipla escolha
Em uma progressão aritmética com primeiro termo 5 e razão 3, o 12º termo é
- A)
- B)
- C)
- D)
- E)
Revelar gabarito
Gabarito: letra E
Pela fórmula aₙ = a₁ + (n − 1)r, tem-se a₁₂ = 5 + 11 · 3 = 38. Usar n no lugar de n − 1 produziria 41 (D), erro recorrente nesse tipo de cálculo.
- A)
- Revelar resposta
Quais as fórmulas do termo geral de uma PA e de uma PG?
PA: an = a1 + (n−1)·r. PG: an = a1·q^(n−1).
- Revelar resposta
Como verificar rapidamente se três valores consecutivos a, b, c estão em PA?
Estão em PA se b − a = c − b, isto é, b = (a + c)/2 (termo do meio = média dos vizinhos). Ex.: 141, 159, 183 → diferenças 18 e 24 → não é PA.
- Revelar resposta
Totais acumulados 20, 60, 120, 200, 300…: qual a quantidade por período e o total até o n-ésimo período?
Por período = diferenças: 20, 40, 60, … → PA qₙ = 20n. Acumulado = soma da PA: Sₙ = 10n(n + 1) (S₇ = 560). Pegadinha: tratar os acumulados como PA.
- Revelar resposta
Sequência que alterna dois padrões (ex.: 25, 75, 50, 150, 100, 300, …): como achar um termo distante?
Separe em posições ímpares (25, 50, 100, …) e pares (75, 150, 300, …); cada uma dobra: aₙ = 2·aₙ₋₂. O 12º termo é o 6º par: 75·2⁵ = 2.400. Pegadinha: seguir o padrão "×3, ÷… " sem separar as subsequências.
- Revelar resposta
Sequência que alterna perdas e ganhos crescentes (−1, +2, −3, +4, …): como achar o saldo e os totais?
Agrupe em pares: (−1 + 2) = (−3 + 4) = … = +1 → após 2k passos o saldo é +k; após o passo ímpar 2k+1, some −(2k+1). Soma dos n primeiros ímpares = n² (1 + 3 + … + 29 = 15² = 225); soma de PA = n(a₁ + aₙ)/2.
- Revelar resposta
Sequência definida por aₙ = A·n + B (função afim de n): que tipo de sequência é?
Sempre uma PA de razão A, pois aₙ₊₁ − aₙ = A (qualquer sinal: A < 0 decrescente, A = 0 constante). B não influencia. Ex.: f(x) = 325 − 7x → PA de razão −7.
- Revelar resposta
PG: como achar a razão entre dois anos e a soma dos n primeiros termos?
aₙ = a₁·qⁿ⁻¹ → de 1979 a 1995 há 16 intervalos (17 termos): q¹⁶ = /. Soma: Sₙ = a₁(qⁿ − 1)/(q − 1); para potências de 2: 2 + 4 + … + 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ − 2. Armadilha: contar termos em vez de intervalos no expoente.
- Revelar resposta
Termo geral da PA
Pela fórmula aₙ = a₁ + (n − 1)r, tem-se a₁₂ = 5 + 11 · 3 = 38. Usar n no lugar de n − 1 produziria 41 (D), erro recorrente nesse tipo de cálculo.
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