Vistas ortogonais e projeções de sólidos (cubos empilhados)
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Resumo
Essência. Vista = projeção ortogonal do sólido visto de uma direção: frontal, lateral e superior. O Cebraspe dá duas vistas de cubos empilhados e pergunta se uma figura pode ser a terceira.
- Modelo: grade no chão; cada casa tem uma altura (cubos empilhados).
- Superior = casas ocupadas; não mostra altura.
- Frontal = maior altura de cada coluna (esquerda → direita).
- Lateral = maior altura de cada fileira (frente ↔ fundos).
- Vista da esquerda: lado esquerdo do desenho = fundos; direito = frente.
- Julgar a superior: nenhuma coluna ou fileira vazia; pilha de altura h exige coluna e fileira com máximo ≥ h; falta casa indispensável → Errado.
- "Pode ser a vista" = basta uma montagem compatível.
- Também: planificação do cubo (11; faces opostas não são vizinhas); cortes de cubo até hexágono regular.
Exceções e distinções. Frontal 3, 1, 1 e lateral 3, 2, 1 (fundos → frente) → casas obrigatórias: esquerda-fundos (3) e esquerda-meio (2), mais casas na frente e nas colunas central e direita.
Pegadinha Cebraspe. Vista superior sem a casa esquerda-meio → fileira do meio teria só altura 1 → impossível.
Lembre também: trocar fundos × frente na lateral; arestas ocultas tracejadas nas vistas.
Visão geral
Uma vista (projeção ortogonal) é o "contorno" do sólido visto de uma direção, sem perspectiva. As três vistas usuais são a frontal (de frente), a lateral (de um dos lados) e a superior (de cima). O Cebraspe dá duas vistas de um sólido formado por cubos empilhados e pergunta se uma figura pode ser a terceira vista.
Regra
Ver íntegra
Monte o sólido como uma grade no chão (vista de cima), em que cada casa tem uma altura (nº de cubos empilhados).
- Vista superior = quais casas da grade estão ocupadas (altura ≥ 1). Não mostra alturas.
- Vista frontal = para cada coluna (esquerda → direita), a maior altura dessa coluna. Ex.: coluna com pilhas de 1, 3 e 2 cubos → a frontal mostra 3.
- Vista lateral = para cada fileira de profundidade (frente ↔ fundos), a maior altura dessa fileira.
- Orientação da vista da esquerda: o observador está à esquerda do sólido olhando para ele; o lado esquerdo do desenho corresponde aos fundos e o lado direito, à frente (observador de frente para o lado esquerdo do objeto: sua direita aponta para a frente do sólido).
Método para julgar "a figura pode ser a vista superior?"
- Da frontal: cada coluna precisa de ao menos uma casa ocupada; a coluna de altura máxima h precisa de uma casa com altura h.
- Da lateral: cada fileira precisa de ao menos uma casa ocupada; a fileira de altura h precisa de uma casa com altura h.
- Uma casa de altura h tem de estar numa coluna e numa fileira que admitam h (a altura é limitada pelo menor dos dois máximos).
- Se a vista superior proposta ocupa as casas exigidas em 1–3, ela é possível (Certo); se falta alguma casa indispensável, não é (Errado).
Pontos-chave
Exemplo (prova anterior). Frontal: colunas com alturas 3, 1, 1 (esquerda → direita). Lateral esquerda: fileiras com alturas 3, 2, 1 (fundos → frente).
| Exigência | Casa indispensável |
|---|---|
| Altura 3 (coluna esquerda × fileira dos fundos) | esquerda-fundos |
| Altura 2 na fileira do meio (só a coluna esquerda admite > 1) | esquerda-meio |
| Fileira da frente não pode ficar vazia | alguma casa na frente |
| Colunas central e direita não podem ficar vazias | alguma casa em cada uma |
- Vista superior com esquerda-fundos, esquerda-meio, central-meio e direita-frente → possível.
- Vista superior com esquerda-fundos, esquerda-meio, central-frente e direita-frente → possível.
- Vista superior com esquerda-fundos, central-meio, esquerda-frente e direita-frente → impossível: sem esquerda-meio, a fileira do meio só teria altura 1.
Aprofundamento
Visualização espacial (edital 9.2 e 9.3)
- Vistas ortográficas: frontal, superior (planta) e lateral — cada uma mostra as arestas visíveis daquela direção; arestas ocultas costumam vir tracejadas.
- Planificação: "abrir" a superfície do sólido no plano. Cubo: 11 planificações possíveis; faces opostas nunca são vizinhas na planificação (no "T" ou na "cruz", estão separadas por uma face).
- Cortes (secções): plano cortando um cubo pode gerar triângulo, quadrado, retângulo, trapézio, pentágono ou hexágono regular (corte pelos pontos médios de 6 arestas).
- Relação de Euler (poliedros convexos): V − A + F = 2. Cubo: 8 − 12 + 6 = 2.
- Rotações: ao girar uma figura 90°, acompanhe um vértice de referência; reflexão inverte a orientação (espelho).
Exemplo: um prisma triangular tem F = 5, V = 6 → A = V + F − 2 = 9.
Exemplo (dado): num dado comum, faces opostas somam 7; na planificação em cruz, a face oposta à do centro é a que fica na ponta da cruz.
Como a banca cobra
- Apresenta a vista superior com os rótulos "vista frontal" (embaixo) e "vista da esquerda" (à esquerda) para fixar a orientação.
- Troca a orientação da vista lateral (fundos × frente) — conferir quem fica à esquerda no desenho.
- Detalhe que torna o item errado: falta, na vista proposta, a casa que sustenta a pilha mais alta de alguma fileira ou coluna.
Revisão rápida
- Frontal = altura máxima por coluna; lateral = altura máxima por fileira; superior = casas ocupadas.
- Vista superior não mostra altura.
- Pilha de altura h exige coluna e fileira com máximo ≥ h.
- Nenhuma coluna/fileira mostrada nas vistas pode ficar vazia na superior.
- Vista da esquerda: esquerda do desenho = fundos do sólido.
- "Pode ser a vista" = basta uma montagem compatível.
Mapa mental
Modelo
- Grade no chão
- Altura de cada casa
Vistas
- Superior: casas ocupadas
- Frontal: altura máxima por coluna
- Lateral: altura máxima por fileira
Orientação
- Vista da esquerda: esquerda = fundos
Julgar a superior
- Nenhuma coluna ou fileira vazia
- Pilha h exige coluna e fileira ≥ h
- "Pode ser": basta uma montagem
Outros
- Planificação do cubo: 11
- Corte de cubo até hexágono
⚠️ Pegadinha
- Faltar a casa da pilha mais alta → impossível
Questão 1, Certo ou Errado
Um sólido foi formado empilhando-se cubos de mesmo tamanho sobre uma grade de 3 colunas (esquerda, centro e direita) por 2 fileiras (fundos e frente). Descrição das vistas:
- Vista frontal: três colunas; da esquerda para a direita, têm 1, 3 e 2 cubos empilhados.
- Vista da esquerda: duas colunas; da esquerda para a direita do desenho (isto é, dos fundos para a frente do sólido), têm 3 e 1 cubos empilhados.
Pode representar a vista superior desse sólido a figura com as seguintes casas ocupadas: na fileira dos fundos, apenas a coluna central; na fileira da frente, as colunas esquerda e direita (demais casas vazias).
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Gabarito: Errado
Errado. A coluna da direita precisa de uma pilha de 2 cubos (vista frontal), mas, nessa figura, sua única casa ocupada está na fileira da frente, cuja altura máxima é 1 (vista da esquerda). Logo, a coluna da direita teria no máximo 1 cubo. A casa direita-fundos é indispensável.
Questão 2, Certo ou Errado
Um poliedro convexo com 8 faces e 12 vértices possui 18 arestas.
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Gabarito: Certo
Certo. Pela relação de Euler, V − A + F = 2 → A = V + F − 2 = 12 + 8 − 2 = 18. É o caso do prisma hexagonal.
Questão 3, Certo ou Errado
Em uma planificação de um cubo, duas faces que são opostas no cubo podem aparecer vizinhas, compartilhando uma aresta.
Revelar gabarito
Gabarito: Errado
Errado. Faces opostas do cubo nunca compartilham aresta; por isso, em nenhuma das 11 planificações elas aparecem vizinhas (na cruz ou no T, ficam separadas por uma face).
Questão 4, Certo ou Errado
Em um dado comum, a soma dos pontos de faces opostas é sempre 7. Se um desses dados estiver apoiado sobre uma mesa com a face de 2 pontos voltada para cima, então a face em contato com a mesa será a de 5 pontos.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. A face em contato com a mesa é a oposta à face superior. Como faces opostas somam 7, a face de baixo tem 7 − 2 = 5 pontos.
Questão 5, Certo ou Errado
Um cubo está apoiado sobre uma mesa. Se ele for tombado duas vezes seguidas no mesmo sentido, girando a cada vez 90° em torno de uma aresta da base, a face que estava inicialmente voltada para cima passará a ficar voltada para uma das laterais.
Revelar gabarito
Gabarito: Errado
Errado. Cada tombamento de 90° leva a face superior para a lateral no sentido do giro; o segundo tombamento no mesmo sentido leva essa face para baixo. Após dois tombamentos (180°), a face que estava em cima fica em contato com a mesa.
- Revelar resposta
Dadas as vistas frontal e lateral de um sólido de cubos empilhados, como julgar se uma figura pode ser a vista superior?
Frontal = altura máxima por coluna; lateral = altura máxima por fileira; superior = casas ocupadas. A vista proposta tem de conter a casa que sustenta cada altura máxima (cruzamento coluna × fileira que admitem aquela altura) e não pode deixar coluna ou fileira vazia. Pegadinha: inverter frente e fundos na vista da esquerda (esquerda do desenho = fundos).
- Revelar resposta
Qual a relação de Euler para poliedros convexos?
V − A + F = 2 (vértices − arestas + faces). Ex.: F = 8, V = 12 → A = 18 (prisma hexagonal). Pegadinha: trocar o sinal (V + A + F) ou isolar a incógnita errado.
- Revelar resposta
Planificação do cubo: faces opostas podem ficar vizinhas?
Não. Faces opostas nunca compartilham aresta, logo nunca ficam lado a lado em nenhuma das 11 planificações; em linha reta ficam separadas por uma face. O cubo tem 11 planificações distintas.
- Revelar resposta
Cubo/dado em diferentes posições: o que muda em cada tipo de giro? Quantas faces se veem de uma vez?
- Dado comum: faces opostas somam 7 (1–6, 2–5, 3–4); face de baixo = 7 − face de cima.
- Giro em torno do eixo vertical: topo e base não mudam; as 4 laterais circulam.
- Tombar 90° sobre uma aresta: topo vai para a lateral; dois tombamentos no mesmo sentido: topo vai para baixo.
- De um único ponto de vista: no máximo 3 faces visíveis.
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