Função quadrática — raízes, vértice e inequações
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Cai no edital de PRF, Correios, Banco do Brasil, Detran, Detran-PR, Detran-DF
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Resumo
Essência. f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0), gráfico parábola. O Cebraspe monta um modelo em texto e pergunta valor num ponto, máximo, quando atinge um valor (equação) ou por quanto tempo fica acima de um nível (inequação).
- Concavidade: a > 0 para cima (mínimo); a < 0 para baixo (máximo).
- Raízes: (−b ± √Δ)/2a; soma −b/a; produto c/a; c = corte no eixo y.
- Atalho: distância entre as raízes = √Δ/|a|.
- Vértice: xᵥ = −b/2a (quando) e yᵥ = −Δ/4a (quanto); xᵥ é o ponto médio das raízes.
- Sinal: a > 0 → negativa entre as raízes; a < 0 → positiva entre elas.
- Inequação: leve tudo a um lado; ao multiplicar ou dividir por negativo, inverta a desigualdade.
Exceções e distinções. E = p(1 − p): p = 0,3 → 21%; máximo em p = 0,5 → 25% (nunca passa de 50%). E = 0,16 → p = 0,2 ou 0,8: "mais de 75% desconhece" não é garantido. Álcool N(t) > 1 → intervalo ≈ 24,3 h.
Pegadinha Cebraspe. "É possível que ultrapasse..." valor acima de yᵥ → errado.
Lembre também: conferir as duas raízes antes de julgar "necessariamente"; confundir xᵥ (instante) com yᵥ (valor); percentual entra como fração (30% = 0,3).
Visão geral
f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0). O gráfico é uma parábola. O Cebraspe monta um modelo em texto ("proporcional ao produto de quem já sabe pelo de quem não sabe") e pergunta: valor em um ponto, valor máximo, quando f atinge certo valor (equação) ou por quanto tempo f fica acima de um nível (inequação).
Regra
Ver íntegra
- Concavidade: a > 0 → para cima (tem mínimo); a < 0 → para baixo (tem máximo).
- Raízes: x = (−b ± √Δ)/2a, Δ = b² − 4ac. Soma = −b/a; produto = c/a. Ex.: x² − 5x + 6 = 0 → raízes 2 e 3 (soma 5, produto 6).
- Vértice: xᵥ = −b/2a; yᵥ = −Δ/4a (ou f(xᵥ)). xᵥ é o ponto médio das raízes. Ex.: f(x) = −x² + 4x → xᵥ = 2, yᵥ = 4.
- "Quando atinge o máximo?" → xᵥ. "Qual o máximo?" → yᵥ.
- Inequação f(x) > k: leve tudo para um lado, ache as raízes e use o sinal da parábola. Para a > 0, a expressão é negativa entre as raízes. Ao multiplicar por número negativo, inverta o sinal da desigualdade.
Método (modelo em texto)
- Escreva a função (ex.: E(p) = k·p·(1 − p), com p em fração).
- Identifique o que o item pede: valor, máximo, equação ou intervalo.
- Para "é possível que...", verifique todas as soluções da equação — pode haver duas.
Pontos-chave
Exemplos resolvidos (modelo PRF: espalhamento E = p(1 − p))
- p = 0,3 → E = 0,3 × 0,7 = 0,21 = 21% (> 20% ✔).
- Máximo: xᵥ = 0,5 → E = 0,25 = 25%. Logo nunca passa de 50% (item "superior a 50%" errado).
- E = 0,16 → p² − p + 0,16 = 0 → p = 0,2 ou p = 0,8. Se p = 0,8, só 20% desconhece → "mais de 75% desconhece" não é garantido (errado).
Exemplo (concentração de álcool) N(t) = −0,008(t² − 35t + 34) > 1 → t² − 35t + 34 < −125 → t² − 35t + 159 < 0 (dividiu por −0,008: inverteu o sinal) → raízes (35 ± √589)/2 ≈ 5,35 e 29,65 → intervalo ≈ 24,3 h (> 23 h ✔). Atalho: a distância entre as raízes é √Δ/|a| = √589 ≈ 24,3.
Aprofundamento
Forma: f(x) = ax² + bx + c. Parábola com concavidade para cima se a > 0 (ponto de mínimo) e para baixo se a < 0 (ponto de máximo).
- Vértice: xᵥ = −b/2a; yᵥ = −Δ/4a (ou f(xᵥ)). É o máximo/mínimo da função — base dos itens de "lucro máximo", "altura máxima".
- Raízes (zeros): onde a parábola corta o eixo x; o vértice está no ponto médio entre elas.
- c: onde corta o eixo y.
- Sinal: a > 0 → negativa entre as raízes; a < 0 → positiva entre as raízes.
Exemplo: altura de um objeto lançado h(t) = −5t² + 20t (metros, t em s). Vértice: t = −20/(2·(−5)) = 2 s; altura máxima h(2) = −20 + 40 = 20 m; volta ao solo quando h = 0 → t = 4 s.
Exemplo (lucro): L(x) = −x² + 60x − 500. Máximo em x = 30; L(30) = −900 + 1800 − 500 = 400.
Como a banca cobra
- Pede "é possível que ..." acima do máximo (yᵥ): errado.
- Equação com duas raízes válidas e item que afirma só uma consequência: errado quando a outra raiz contradiz.
- Inequação com coeficiente negativo: quem não inverte o sinal troca "entre as raízes" por "fora delas".
- Detalhe que torna o item errado: confundir xᵥ (instante) com yᵥ (valor), ou esquecer que percentual entra como fração (30% = 0,3).
Revisão rápida
- a > 0: mínimo; a < 0: máximo.
- xᵥ = −b/2a; yᵥ = −Δ/4a.
- Distância entre raízes = √Δ/|a|.
- Multiplicou/dividiu por negativo → inverte a desigualdade.
- a > 0: negativa entre as raízes; positiva fora.
- p(1 − p) tem máximo 0,25 em p = 0,5.
- Conferir as duas raízes antes de julgar "necessariamente".
Mapa mental
Forma
- f(x) = ax² + bx + c
- Parábola
Concavidade
- a > 0: mínimo
- a < 0: máximo
Vértice
- xᵥ = −b/2a: quando
- yᵥ = −Δ/4a: quanto
Raízes
- Soma −b/a; produto c/a
- Distância: √Δ/|a|
Inequações
- a > 0: negativa entre as raízes
- Dividir por negativo: inverte o sinal
Modelo p(1−p)
- Máximo 0,25 em p = 0,5
⚠️ Pegadinha
- Valor acima do máximo yᵥ → errado
Sem questões neste tópico.
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Função quadrática: como achar o valor máximo (ou mínimo) e onde ele ocorre?
a < 0 → máximo; a > 0 → mínimo. Onde ocorre: xᵥ = −b/2a; valor: yᵥ = −Δ/4a (ou f(xᵥ)). Ex.: p(1 − p) tem máximo 0,25 em p = 0,5. Pegadinha: item "é possível que supere X" com X acima de yᵥ → errado; não confundir xᵥ (onde) com yᵥ (quanto).
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Modelo "proporcional ao produto de quem já sabe pelo de quem não sabe": como montar e julgar o item?
E(p) = k·p·(1 − p), com p em fração (30% = 0,3). Substitua p para achar E; para achar p a partir de E, resolva a equação do 2º grau — pode haver duas raízes válidas (p e 1 − p). Pegadinha: item que afirma algo "necessariamente" com base em só uma das raízes → errado.
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Inequação do 2º grau: como saber por quanto tempo f(t) fica acima de um nível k?
Leve tudo para um lado, ache as raízes e use o sinal da parábola: com a > 0, a expressão é negativa entre as raízes. Duração = distância entre as raízes = √Δ/|a|. Pegadinha: multiplicou/dividiu por número negativo → inverte a desigualdade.
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Como achar rapidamente as raízes e o vértice de t² − St + P (ex.: t² − 35t + 34)?
Soma e produto: raízes com soma S e produto P → 1 e 34. O vértice fica no meio das raízes: tᵥ = (1 + 34)/2 = 17,5. Pegadinha: calcular o vértice e comparar com o valor errado (17,5 < 18).
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Forma fatorada f(x) = k(x − r₁)(x − r₂): o que se lê direto dela?
Raízes r₁ e r₂ (não dependem de k ≠ 0); xᵥ = (r₁ + r₂)/2 e yᵥ = f(xᵥ); sinal de k = concavidade. Em modelos físicos (altura da bola), o domínio útil fica entre as raízes, onde f ≥ 0.
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Máximo e mínimo de uma função quadrática num intervalo fechado [p, q]: onde procurar?
Compare f(p), f(q) e f(xᵥ) (se xᵥ ∈ [p, q]). a > 0: vértice é o mínimo e o máximo fica numa extremidade; a < 0: vértice é o máximo. Armadilha: máx(f·g) ≠ máx f · máx g quando os máximos ocorrem em pontos diferentes.
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Dados o vértice (xᵥ, yᵥ) e outro ponto da parábola, como achar a concavidade e onde f cresce/decresce?
Use a forma canônica f(x) = a(x − xᵥ)² + yᵥ e substitua o ponto para achar a. a < 0: cresce até xᵥ e decresce depois; a > 0: o inverso. Ex.: vértice (4, 2) e f(0) = −6 → 16a + 2 = −6 → a = −1/2.
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Quantas vezes f(x) (quadrática) assume o valor k — ou quando duas funções se igualam?
Monte f(x) − k = 0 (ou f(x) − g(x) = 0) e olhe o Δ: Δ > 0 → duas soluções; Δ = 0 → uma (no vértice); Δ < 0 → nenhuma. Depois confira se as soluções caem no domínio (tempo ≥ 0, ano pedido).
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Soma e produto das raízes de ax² + bx + c = 0 (relações de Girard)?
S = x₁ + x₂ = −b/a; P = x₁·x₂ = c/a. Permite julgar expressões das raízes sem resolvê-las: em ax² + x + b, xy/(x + y) = (b/a)/(−1/a) = −b. Atenção ao sinal de −b/a.
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