Porcentagem, variação percentual e juros simples

Porcentagem de um valor

p% de um valor V é (p/100) × V. Quando o enunciado dá a parte que saiu, o que sobra é o complemento: (100 − p)%.

Ex.: 2.500 inscritos, 40% faltaram. Quantos compareceram?

1. Complemento: 100% − 40% = 60%.
2. 0,60 × 2.500 = 1.500 presentes.
3. Conferência: faltosos = 0,40 × 2.500 = 1.000; 1.500 + 1.000 = 2.500.

Fator multiplicativo

Aumentar p% é multiplicar por (1 + p/100). Descontar p% é multiplicar por (1 − p/100). O fator já entrega o valor final, sem somar ou subtrair depois.

Ex.: salário de R$ 2.000 com aumento de 15%.

1. Fator: 1 + 0,15 = 1,15.
2. 2.000 × 1,15 = R$ 2.300.
3. Conferência: 15% de 2.000 = 300; 2.000 + 300 = 2.300.

Aumentos e descontos sucessivos

Cada taxa incide sobre o valor já alterado pela anterior. Por isso se multiplicam os fatores, em qualquer ordem. O fator final menos 1 dá a taxa única equivalente. Aumento de p% seguido de desconto de p% tem fator 1 − (p/100)², sempre menor que 1.

Ex.: multa de R$ 500 com desconto de 20% e, sobre o valor reduzido, mais 5%.

1. 500 × 0,80 = 400.
2. 400 × 0,95 = R$ 380.
3. Fator total: 0,80 × 0,95 = 0,76. Desconto único equivalente: 1 − 0,76 = 24%.

Variação percentual

Variação = (final − inicial)/inicial. O resultado positivo é aumento; o negativo, redução. Para testar "pelo menos x% maior", basta multiplicar o valor inicial por (1 + x/100) e comparar com o final.

Ex.: acidentes passaram de 110 mil (2005) para 141 mil (2008). O aumento foi de pelo menos 26%?

1. Diferença: 141 − 110 = 31.
2. 31/110 ≈ 0,2818, ou 28,2%.
3. Atalho: 110 × 1,26 = 138,6. Como 141 > 138,6, o aumento passa de 26%.

A ida e a volta têm taxas diferentes, porque a base muda: de 80 para 100, 20/80 = +25%; de 100 para 80, 20/100 = −20%.

Pontos percentuais e variação relativa

Quando a grandeza já é uma taxa, há duas medidas. A diferença entre as taxas se mede em pontos percentuais (p.p.). A variação relativa divide essa diferença pela taxa inicial.

Ex.: a proporção de autuados passou de 8% para 10%.

1. Diferença: 10 − 8 = 2 p.p.
2. Variação relativa: 2/8 = 0,25 = 25%.

Valor original

Se o valor final resultou de um aumento ou desconto, o original é o final dividido pelo fator. Aplicar a taxa inversa sobre o valor final erra a base.

Ex.: depois de um reajuste de 20%, a diária custa R$ 90. Quanto custava antes?

1. Fator do reajuste: 1,20.
2. 90/1,20 = R$ 75.
3. Conferência: 75 × 1,20 = 90. Tirar 20% de 90 daria 90 × 0,80 = 72, valor errado.

Porcentagem de porcentagem

"p% de q%" é produto: (p/100) × (q/100).

Ex.: 40% dos veículos abordados são caminhões e 30% dos caminhões têm excesso de peso.

1. 0,30 × 0,40 = 0,12.
2. 12% dos veículos abordados são caminhões com excesso de peso.

Juros simples

Os juros de cada período incidem só sobre o capital inicial: J = C·i·t e M = C + J = C·(1 + i·t). A taxa i e o tempo t ficam na mesma unidade; se não estiverem, converte-se a taxa proporcionalmente (12% ao ano = 1% ao mês).

Ex.: R$ 2.000 a 2% ao mês por 8 meses.

1. i·t = 0,02 × 8 = 0,16.
2. J = 2.000 × 0,16 = R$ 320.
3. M = 2.000 + 320 = R$ 2.320.

Juros compostos

Os juros de cada período incidem sobre o montante acumulado: M = C·(1 + i)ᵗ. É o caso de aumentos sucessivos de mesma taxa.

Ex.: R$ 1.000 a 10% ao mês por 2 meses.

1. Fator: 1,10 × 1,10 = 1,21.
2. M = 1.000 × 1,21 = R$ 1.210.
3. Taxa acumulada: 21%. A juros simples seriam 1.000 + 2 × 100 = R$ 1.200.