Equações do 1º e 2º graus e sistemas lineares
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Cai no edital de PRF, Agente Administrativo PRF, Agente PF, Escrivão PF, Papiloscopista PF, Agente Administrativo PF, TJ-SP, PM-SP, Banco do Brasil, Receita Federal, Receita Federal, Detran, Detran-PR, Detran-DF
Para revisar
Resumo
Essência. O Cebraspe cobra modelagem: transformar o texto em equação ou sistema e conferir o número do item. O cálculo é simples; o erro está em montar mal ou aceitar raiz sem sentido.
- Método: nomeie as incógnitas; uma equação por informação do texto; resolva; descarte raízes sem sentido (medida negativa, pessoa fracionária); teste o valor do item nas equações originais.
- Traduções: "130 km a mais" → x + 130; "o dobro de" → 2x; "a metade" → x/2.
- Sistema 2×2: substituição (variável já isolada) ou adição (coeficientes que se cancelam). Ex.: g + v = 30 e 150g + 300v = 7.500 → v = 20, g = 10.
- 2º grau: ax² + bx + c = 0; Δ = b² − 4ac; x = (−b ± √Δ)/2a. Δ > 0, duas raízes; Δ = 0, raiz dupla; Δ < 0, sem raiz real.
- Soma das raízes = −b/a; produto = c/a.
- Classificação do sistema: possível e determinado (retas concorrentes), possível e indeterminado (coincidentes), impossível (paralelas).
Exceções e distinções. x(x + 15) = 1.750 → Δ = 7.225 = 85² → x = 35 m (a raiz −50 é descartada). x + (x + 130) = 850 → x = 360 km.
Pegadinha Cebraspe. Item com o valor de uma incógnita trocado pelo da outra → errado: confira as duas equações.
Lembre também: teste de candidatos pela soma e pelo produto; "a mais que" aplicado ao termo errado.
Visão geral
O Cebraspe cobra modelagem: transformar um texto (autuações, quilômetros rodados, área de pátio) em equação ou sistema e conferir o número que o item afirma. O cálculo costuma ser simples; o erro está em montar a equação errada ou aceitar uma raiz que não serve ao contexto.
Regra
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Método de resolução (passo a passo)
- Nomeie as incógnitas (ex.: g = autuações graves, v = gravíssimas).
- Escreva uma equação por informação do texto (quantidade total, valor total, diferença).
- Resolva: substituição (isola uma incógnita e substitui) ou adição (multiplica uma equação para eliminar uma incógnita e soma/subtrai).
- Descarte raízes sem sentido físico (medida negativa, número de pessoas fracionário).
- Teste a resposta do item nas equações originais — muitas vezes é mais rápido que resolver.
Equação do 2º grau ax² + bx + c = 0
- Δ = b² − 4ac; x = (−b ± √Δ) / 2a
- Δ > 0: duas raízes reais distintas; Δ = 0: uma raiz dupla; Δ < 0: nenhuma raiz real.
- Soma das raízes = −b/a; produto = c/a (atalho para testar candidatos).
Pontos-chave
| Texto do problema | Tradução |
|---|---|
| "130 km a mais que no 1º dia" | 2º dia = x + 130 |
| "comprimento 15 m maior que a largura" | c = x + 15 |
| "30 autuações, R$ 7.500 no total" | g + v = 30; 150g + 300v = 7.500 |
| "o dobro de" / "a metade de" | 2x / x/2 |
Exemplos resolvidos
- Sistema: g + v = 30 e 150g + 300v = 7.500. Multiplicando a 1ª por 150: 150g + 150v = 4.500. Subtraindo: 150v = 3.000 → v = 20, g = 10.
- 1º grau: x + (x + 130) = 850 → 2x = 720 → x = 360 km (não 390).
- 2º grau: x(x + 15) = 1.750 → x² + 15x − 1.750 = 0; Δ = 225 + 7.000 = 7.225 = 85²; x = (−15 + 85)/2 = 35 m (a raiz −50 é descartada).
Aprofundamento
Equação do 1º grau: ax + b = 0 → x = −b/a. Modelagem: nomeie a incógnita, traduza cada frase em igualdade, resolva e confira no enunciado.
Equação do 2º grau ax² + bx + c = 0: Δ = b² − 4ac; x = (−b ± √Δ)/2a. Δ > 0: duas raízes reais distintas; Δ = 0: uma raiz (dupla); Δ < 0: sem raiz real. Soma das raízes = −b/a; produto = c/a (atalho para itens de "as raízes somam…").
Sistemas lineares 2×2: substituição ou adição. Classificação: possível e determinado (uma solução — retas concorrentes), possível e indeterminado (infinitas — retas coincidentes, coeficientes proporcionais), impossível (nenhuma — retas paralelas: coeficientes proporcionais, termos independentes não).
Exemplo resolvido: um posto da PRF fiscalizou 120 veículos entre carros e motos; o total de rodas era 380. Carros c, motos m: c + m = 120 e 4c + 2m = 380 → 2c = 380 − 240 = 140 → c = 70, m = 50.
Exemplo (2º grau): área de um retângulo = 96 m², com um lado 4 m maior que o outro: x(x + 4) = 96 → x² + 4x − 96 = 0 → Δ = 16 + 384 = 400 → x = (−4 + 20)/2 = 8 (descarta −12). Lados 8 e 12.
Como a banca cobra
- Item dá o valor de uma incógnita "trocado" com a outra (390 em vez de 360; o número de graves no lugar do de gravíssimas): substitua e confira as duas equações.
- Item aceita a raiz negativa ou a que não respeita o contexto: errado.
- Detalhe que torna o item errado: a relação "a mais que" aplicada ao dia errado, ou a verificação que fecha só uma das equações do sistema.
Revisão rápida
- Uma equação por informação do texto.
- Sistema 2×2: adição quando os coeficientes se cancelam fácil; substituição quando uma variável já está isolada.
- Δ = b² − 4ac; x = (−b ± √Δ)/2a.
- Soma = −b/a; produto = c/a.
- Medida física negativa → descartar.
- Sempre testar o valor do item nas equações originais.
Mapa mental
Modelagem
- Uma equação por informação
- Descartar raízes sem sentido
- Testar no enunciado
Sistemas 2×2
- Substituição
- Adição
Segundo grau
- Δ = b² − 4ac
- x = (−b ± √Δ)/2a
- Soma −b/a; produto c/a
Sinal de Δ
- Positivo: duas raízes
- Zero: raiz dupla
- Negativo: sem raiz real
Classificação
- Determinado: retas concorrentes
- Indeterminado: coincidentes
- Impossível: paralelas
⚠️ Pegadinha
- Valor de uma incógnita trocado pelo da outra
Questão 1, PRF, Certo ou Errado
Em uma fiscalização, a PRF lavrou, em um único dia, autos de infração grave (multa de R$ 150,00 cada) e de infração gravíssima (multa de R$ 300,00 cada), totalizando 30 autuações e R$ 7.500,00 em multas. Nessa situação, o número de autuações por infração gravíssima foi igual a 20.
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Gabarito: Certo
Certo. Sejam g e v os números de autuações grave e gravíssima. Do sistema {g+v=30; 150g+300v=7.500}, multiplicando a primeira equação por 150 e subtraindo da segunda: 150v = 7.500 − 4.500 = 3.000, logo v=20 e g=10. Verificação: 150×10+300×20=1.500+6.000=7.500.
Questão 2, PRF, Certo ou Errado
Um trecho retangular de pista, usado como área de instrução em um posto da PRF, tem comprimento 15 m maior que a largura. Sabendo que a área desse retângulo é de 1.750 m², a largura desse trecho é igual a 35 m.
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Gabarito: Certo
Certo. Sendo x a largura, x(x + 15) = 1.750 leva a x² + 15x − 1.750 = 0, com Δ = 7.225 = 85² e x = (−15 + 85)/2 = 35 m; a raiz negativa não serve, e 35 × 50 confirma 1.750.
Questão 3, PRF, Certo ou Errado
Uma equipe de fiscalização da PRF percorreu, em dois dias, um total de 850 km. No segundo dia, a equipe rodou 130 km a mais que no primeiro. Nessa situação, no primeiro dia a equipe percorreu 390 km.
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Gabarito: Errado
Errado. Sejam x o total do 1º dia e x+130 o do 2º: x + (x+130) = 850 → 2x = 720 → x = 360. No primeiro dia a equipe percorreu 360 km, não 390 km. Verificação: 360 + 490 = 850.
Questão 4, Agente Administrativo PRF, Múltipla escolha
A soma de dois números é 50 e a diferença entre eles é 14. O maior desses números é:
- A)
36
- B)
18
- C)
32
- D)
25
- E)
30
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Gabarito: letra C
Com x + y = 50 e x − y = 14, somar as equações dá 2x = 64, logo x = 32 e y = 18. Confira: 32 + 18 = 50 e 32 − 18 = 14. O valor 18 (B) é o menor número.
- A)
Questão 5, Agente Administrativo PRF, Múltipla escolha
A idade de um pai é o triplo da idade do filho, e a soma das duas idades é 48 anos. A idade do filho é:
- A)
12 anos.
- B)
16 anos.
- C)
36 anos.
- D)
24 anos.
- E)
10 anos.
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Gabarito: letra A
Com x para o filho e 3x para o pai, x + 3x = 48, logo 4x = 48 e x = 12. O pai tem 36 anos (C). Dividir 48 por 3 dá 16 (B), o que esquece de somar a parte do filho.
- A)
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Problema em texto → equação/sistema: qual o método para montar e conferir?
Uma equação por informação do texto ("130 a mais que" → x + 130; total de itens e total de valor → sistema). Resolva por substituição ou adição. Atalho: teste o valor do item nas equações originais — todas têm de fechar.
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Equação do 2º grau: como resolver e qual raiz aceitar num problema de medida?
Δ = b² − 4ac; x = (−b ± √Δ)/2a. Soma = −b/a; produto = c/a. Pegadinha: descarte a raiz sem sentido no contexto (medida negativa, quantidade fracionária).
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Problemas de idades e de números consecutivos: quais os atalhos e armadilhas?
Consecutivos: n, n+1, n+2, n+3 (soma 4n + 6); a média é o termo central. Idades: a diferença entre duas pessoas é constante no tempo — monte a equação no ano em que a relação é dada. Armadilha: "o primeiro que nasceu" é o mais velho (maior idade), não o menor número.
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Fluxo em cruzamentos (redes de tráfego): como montar o sistema?
Em cada nó: total que entra = total que sai. Uma equação por cruzamento + as condições dadas (ex.: z = y). Resolva por soma/subtração. Ex.: a + b = x + y; x + c = z + d.
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