Áreas, perímetros e volumes
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Cai no edital de PRF, Agente Administrativo PRF, Agente PF, Escrivão PF, Papiloscopista PF, Agente Administrativo PF, Polícia Penal Federal, TJ-SP, PM-SP, Concurso Nacional Unificado, Receita Federal, Receita Federal, Detran, Detran-PR, Detran-DF
Para revisar
Resumo
Essência. Métrica aplicada: área de pátio, perímetro de cerca, capacidade de reservatório. O Cebraspe exige a fórmula certa e a conversão de unidades.
- Retângulo: A = b·h; P = 2(b + h). Quadrado: A = l²; P = 4l.
- Triângulo: A = b·h/2; equilátero, l²·√3/4. Trapézio: (B + b)·h/2. Losango: D·d/2.
- Círculo: A = πr²; comprimento = 2πr. Setor: πr²·θ/360°.
- Prisma, paralelepípedo e cilindro: V = área da base × altura (cilindro, πr²h). Cubo: a³.
- Pirâmide e cone: V = (base × altura)/3. Esfera: V = (4/3)πr³; área 4πr².
- Conversões: 1 m³ = 1.000 L; 1 dm³ = 1 L; 1 cm³ = 1 mL; 1 m² = 10.000 cm²; 1 ha = 10.000 m².
- Semelhança: razão k nos comprimentos → k² nas áreas e k³ nos volumes.
Exceções e distinções. Dobrar o raio de um cilindro (mesma altura) → volume × 4; dobrar todas as dimensões → volume × 8. Reservatório 4 × 2,5 × 1,8 = 18 m³ = 18.000 L. Pátio 40 × 25: área 1.000 m², perímetro 130 m.
Pegadinha Cebraspe. Converter m³ em litros multiplicando por 100 → errado: × 1.000.
Lembre também: confundir área com perímetro ou volume com área total; esquecer o ÷ 3 de cone e pirâmide; Pitágoras (a² = b² + c²).
Visão geral
Métrica aplicada: área de pátio, perímetro de cerca, capacidade de reservatório. O Cebraspe exige a fórmula certa e a conversão (m³ ↔ litros, m² ↔ ha).
Regra
Ver íntegra
Figuras planas (área A, perímetro P)
- Retângulo: A = b·h; P = 2(b + h). Ex.: 40 × 25 → A = 1.000 m², P = 130 m.
- Quadrado: A = l²; P = 4l.
- Triângulo: A = b·h/2; equilátero: A = l²·√3/4.
- Trapézio: A = (B + b)·h/2.
- Círculo: A = π·r²; comprimento = 2·π·r. Ex.: r = 10 m → A ≈ 314 m².
Sólidos (volume V)
- Paralelepípedo: V = a·b·c; cubo: V = a³.
- Prisma e cilindro: V = área da base × altura (cilindro: π·r²·h). Ex.: r = 1 m e h = 2 m → V ≈ 6,28 m³ ≈ 6.280 L.
- Pirâmide e cone: V = (área da base × altura)/3 (cone: π·r²·h/3).
- Esfera: V = (4/3)·π·r³.
Conversões
- 1 m³ = 1.000 L; 1 dm³ = 1 L; 1 cm³ = 1 mL.
- 1 m² = 10.000 cm²; 1 ha = 10.000 m²; 1 km² = 1.000.000 m².
Pontos-chave
Exemplos resolvidos
- Reservatório 4 × 2,5 × 1,8 = 18 m³ = 18.000 L (> 17.000 ✔).
- Pátio 40 × 25: A = 1.000 m²; P = 2 × 65 = 130 m.
- Dobrar o raio de um cilindro (mesma altura) → volume × 4; dobrar todas as dimensões de um sólido → volume × 8.
Aprofundamento
| Figura | Área |
|---|---|
| Retângulo | b·h |
| Triângulo | b·h/2 (equilátero: ℓ²·√3/4) |
| Trapézio | (B + b)·h/2 |
| Losango | D·d/2 |
| Círculo | πr² (comprimento 2πr) |
| Setor circular | πr²·θ/360° |
| Sólido | Volume |
|---|---|
| Prisma / paralelepípedo | área da base × altura (a·b·c) |
| Cubo | a³ |
| Cilindro | πr²h |
| Pirâmide / cone | (área da base × altura)/3 |
| Esfera | (4/3)πr³ (área 4πr²) |
- Unidades: 1 m³ = 1.000 L; 1 dm³ = 1 L; 1 m² = 10.000 cm²; 1 ha = 10.000 m².
- Semelhança: razão k nos comprimentos → k² nas áreas e k³ nos volumes.
- Pitágoras: a² = b² + c² (triângulo retângulo) — diagonal do retângulo, distâncias em mapa.
Exemplos
- Tanque cilíndrico de raio 1 m e altura 3 m: π·1²·3 ≈ 9,42 m³ = 9.420 L.
- Carga de 2 m × 1,5 m × 0,8 m = 2,4 m³.
- Trecho de pista de 7 m de largura e 2 km de extensão: 7 × 2.000 = 14.000 m² = 1,4 ha.
Como a banca cobra
- Confunde área com perímetro, ou volume com área total.
- Conversão m³ → L com fator errado (100 em vez de 1.000).
- Esquece o "÷ 3" de cone/pirâmide.
- Detalhe que torna o item errado: a unidade (m² × m³ × L) e o fator de semelhança (k² para área, k³ para volume).
Revisão rápida
- Retângulo: A = b·h; P = 2(b + h).
- Prisma/cilindro: base × altura.
- Cone/pirâmide: base × altura ÷ 3.
- Esfera: 4πr³/3.
- 1 m³ = 1.000 L.
- Semelhança: área × k²; volume × k³.
Referência
Mapa mental
Áreas planas
- Retângulo: b·h; quadrado: l²
- Triângulo: b·h/2
- Trapézio: (B+b)·h/2
- Losango: D·d/2
- Círculo: πr²
Perímetros
- Retângulo: 2(b+h)
- Circunferência: 2πr
Volumes
- Prisma e cilindro: base × altura
- Pirâmide e cone: base × altura / 3
- Esfera: (4/3)πr³
Conversões
- 1 m³ = 1.000 L
- 1 dm³ = 1 L
- 1 ha = 10.000 m²
Semelhança
- Áreas: k²
- Volumes: k³
⚠️ Pegadinha
- m³ em litros × 100 → errado (× 1.000)
Questão 1, PRF, Certo ou Errado
Um posto de pesagem da PRF possui um reservatório de água em formato de paralelepípedo retangular, com 4 m de comprimento, 2,5 m de largura e 1,8 m de altura. Nessa situação, a capacidade máxima desse reservatório é superior a 17.000 litros.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. O volume do paralelepípedo é V=4×2,5×1,8=18 m³. Como 1 m³ equivale a 1.000 litros, a capacidade é 18.000 litros, valor superior a 17.000 litros.
Questão 2, PRF, Certo ou Errado
Um pátio retangular de apreensão de veículos da PRF mede 40 m de comprimento por 25 m de largura. Nessa situação, a área desse pátio é igual a 1.000 m², e seu perímetro é igual a 130 m.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. Área = 40 × 25 = 1.000 m²; perímetro = 2 × (40 + 25) = 2 × 65 = 130 m — ambos os valores do item conferem.
Questão 3, PRF, Certo ou Errado
A área de um círculo de raio 3 m é 9π m².
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. A área do círculo é dada por A = π·r², e com raio de 3 m obtém-se A = π · 3² = 9π m², exatamente o valor afirmado no item.
Questão 4, Agente Administrativo PRF, Múltipla escolha
Uma sala retangular mede 6 m por 4 m. Sua área é de:
- A)
20 m²
- B)
24 m²
- C)
10 m²
- D)
48 m²
- E)
12 m²
Revelar gabarito
Gabarito: letra B
Área do retângulo = base × altura = 6 · 4 = 24 m². 20 m (A) é o perímetro (2·6 + 2·4), que mede o contorno e não a área.
- A)
Questão 5, Agente Administrativo PRF, Múltipla escolha
Uma caixa-d'água em forma de paralelepípedo tem 2 m de comprimento, 1,5 m de largura e 1 m de altura. Sua capacidade, em litros, é de:
- A)
300
- B)
3.000
- C)
30
- D)
30.000
- E)
4.500
Revelar gabarito
Gabarito: letra B
O volume é 2 · 1,5 · 1 = 3 m³, e 1 m³ = 1.000 litros, então são 3.000 litros. Esquecer a conversão leva a 3 ou a outra ordem de grandeza (A, C, D).
- A)
- Revelar resposta
Quais as fórmulas de volume de um cilindro e de uma esfera?
Cilindro: V = π·r²·h. Esfera: V = (4/3)·π·r³.
- Revelar resposta
Retângulo e paralelepípedo: fórmulas de área, perímetro e volume — e quanto vale 1 m³ em litros?
Retângulo: A = b·h; P = 2(b + h). Paralelepípedo: V = a·b·c. 1 m³ = 1.000 L (1 dm³ = 1 L). Pegadinha: trocar área por perímetro, ou converter m³ → L com fator 100.
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