Funções exponencial e logarítmica
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Cai no edital de PRF, Banco do Brasil
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Resumo
Essência. Exponencial f(x) = k·aˣ: variável no expoente; a cada período o valor é multiplicado por a (juros compostos, crescimento, decaimento). Logaritmo é a inversa: "que expoente dá esse valor?".
- Exponencial: a > 1 cresce; 0 < a < 1 decresce; aˣ > 0 sempre; f(0) = k (valor inicial).
- Modelos: aumenta i% → C(1 + i)ᵗ; diminui i% → C(1 − i)ᵗ; dobra a cada T → C·2^(t/T); meia-vida → C·(1/2)^(t/T).
- Definição: logₐ b = x ⇔ aˣ = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0).
- Propriedades: log(mn) = log m + log n; log(m/n) = log m − log n; log mⁿ = n·log m; logₐ 1 = 0; logₐ a = 1.
- Mudança de base: logₐ b = log b / log a.
- Valores: log 2 ≈ 0,301; log 3 ≈ 0,477; log 5 ≈ 0,699.
- Tempo desconhecido: iguale e aplique log ou fatore na mesma base.
Exceções e distinções. N(t) = 50·2ᵗ → N(3) = 400; 50·2ᵗ = 1.600 → 2ᵗ = 32 → t = 5 h. Frota +10% ao ano dobra em ≈ 7,3 anos. Percentual constante = exponencial, não linear.
Pegadinha Cebraspe. f(x) = 350 + 150e⁻ˣ "fica abaixo de 350 após 10 anos" → errado: aproxima-se de 350 sem atingi-lo.
Lembre também: 50·2³ ≠ 50·2·3; exponencial nunca é zero ou negativa; trocar o expoente (2ᵗ⁻¹ × 2ᵗ) ou esquecer k.
Visão geral
Exponencial: f(x) = k·aˣ (a > 0, a ≠ 1) — a variável está no expoente; a cada unidade de x o valor é multiplicado por a (crescimento populacional, juros compostos, decaimento). Logarítmica: f(x) = logₐ x — inversa da exponencial; responde "que expoente dá esse valor?".
Regra
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Exponencial
- a > 1: crescente; 0 < a < 1: decrescente.
- Imagem sempre positiva: aˣ > 0 para todo x real; f(0) = k (valor inicial).
- "Dobra a cada período" → k·2ᵗ; "cai 10% a cada período" → k·0,9ᵗ.
Logaritmo
- logₐ b = x ⇔ aˣ = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0). Ex.: log₂ 8 = 3, pois 2³ = 8.
- log(m·n) = log m + log n; log(m/n) = log m − log n; log(mⁿ) = n·log m. Ex.: log 20 = log 2 + log 10 ≈ 1,301.
- Mudança de base: logₐ b = log b / log a.
- Domínio da função log: x > 0; base > 1 → crescente.
Método
- Identifique o valor inicial (t = 0) e o fator por período.
- Para achar o valor em t: substitua. Para achar o tempo em que se atinge um valor: iguale e aplique log (ou fatore em potências da mesma base).
Pontos-chave
Exemplo resolvido: N(t) = 50·2ᵗ → N(3) = 50·8 = 400 veículos. Exemplo (tempo): 50·2ᵗ = 1.600 → 2ᵗ = 32 = 2⁵ → t = 5 h.
| Situação | Modelo |
|---|---|
| Aumenta i% por período | C·(1 + i)ᵗ |
| Diminui i% por período | C·(1 − i)ᵗ |
| Dobra a cada T | C·2^(t/T) |
| Meia-vida T | C·(1/2)^(t/T) |
Aprofundamento
Exponencial: f(x) = a·bˣ (b > 0, b ≠ 1). b > 1 crescente; 0 < b < 1 decrescente. Modela crescimento/decaimento percentual constante: valor = inicial × (1 ± taxa)ᵗ.
Logaritmo: log_b a = x ⇔ bˣ = a (a > 0, b > 0, b ≠ 1). Propriedades:
- log(a·c) = log a + log c; log(a/c) = log a − log c; log aⁿ = n·log a;
- mudança de base: log_b a = log a / log b;
- log_b 1 = 0; log_b b = 1. Valores úteis: log 2 ≈ 0,301; log 3 ≈ 0,477; log 5 ≈ 0,699; ln 2 ≈ 0,693.
Exemplo (dobrar): frota cresce 10% ao ano. Em quanto tempo dobra? 1,1ᵗ = 2 → t = log 2/log 1,1 ≈ 0,301/0,0414 ≈ 7,3 anos.
Exemplo (meia-vida): concentração cai pela metade a cada 4 h. Após 12 h: (1/2)³ = 1/8 da inicial.
Equação exponencial: iguale bases (2ˣ = 32 → 2ˣ = 2⁵ → x = 5) ou aplique log dos dois lados.
Como a banca cobra
- Trata crescimento exponencial como linear (somar em vez de multiplicar): 50·2³ ≠ 50·2·3.
- Afirma que a exponencial "pode assumir valor zero ou negativo": errado.
- Modelo f(x) = a + b·e⁻ˣ (b > 0): decresce e se aproxima de a sem nunca atingi-lo — "após 10 anos, menos de a" é errado (ex.: 350 + 150e⁻ˣ > 350 sempre; f(1) = 350 + 150/e ≈ 405).
- Detalhe que torna o item errado: trocar o expoente (2ᵗ⁻¹ × 2ᵗ) ou esquecer o valor inicial k.
Revisão rápida
- aˣ > 0 sempre; f(0) = k.
- a > 1 cresce; 0 < a < 1 decresce.
- Tempo desconhecido → logaritmo ou mesma base.
- log(mn) = log m + log n; log mⁿ = n log m.
- Percentual constante por período = exponencial, não linear.
Referência
Fontes consultadas (2)
Mapa mental
Exponencial
- f(x) = k·aˣ
- a > 1 cresce; 0 < a < 1 decresce
- Sempre positiva; f(0) = k
Modelos
- +i%: C(1+i)ᵗ
- −i%: C(1−i)ᵗ
- Meia-vida: C(1/2)^(t/T)
Logaritmo
- logₐ b = x ⇔ aˣ = b
- log(mn) = log m + log n
- log mⁿ = n·log m
- Mudança de base
Valores úteis
- log 2 ≈ 0,301
- log 3 ≈ 0,477
⚠️ Pegadinha
- Assíntota: 350 + 150e⁻ˣ nunca abaixo de 350
Questão 1, PRF, Certo ou Errado
O número de veículos fiscalizados por uma equipe da PRF, em função do tempo t (em horas), é dado por N(t) = 50 · 2^t. Nessa situação, após 3 horas de operação, o número de veículos fiscalizados será igual a 400.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. Substituindo t = 3 na função exponencial, em que a base 2 dobra o valor a cada hora, N(3) = 50 · 2³ = 50 · 8 = 400 veículos fiscalizados, exatamente o valor do item.
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Função exponencial N(t) = k·aᵗ: como calcular o valor em t?
Substitua t no expoente: N(t) = k·aᵗ; k = N(0) é o valor inicial e a é o fator multiplicativo por período. Pegadinha: tratar como linear — 50·2³ = 400, não 50·2·3.
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Modelo f(x) = a + b·e⁻ˣ (b > 0, x ≥ 0): como se comporta?
Começa em a + b (x = 0), decresce e tende a a (assíntota), sem nunca atingi-lo: f(x) > a sempre. Ex.: 350 + 150e⁻ˣ > 350; f(1) = 350 + 150/e ≈ 405. Pegadinha: afirmar que, após muitos anos, fica abaixo de a.
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Como achar o tempo t em que um modelo exponencial atinge um valor (ex.: 4e^(−0,5t) = 4/5)?
- Isole a potência: e^(kt) = valor. 2) Aplique ln (ou log₁₀ se a base é 10): kt = ln(valor). 3) t = ln(valor)/k. Ex.: e^(−0,5t) = 1/5 → t = ln5/0,5 = 3,2. Armadilha: multiplicar por k em vez de dividir (t = log4/0,002 = 500·log4, não log4/500).
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Quando pontos (x, y) com x em passos iguais estão sobre o gráfico de uma função exponencial?
Quando os y formam uma PG (razão constante q): y = c·qˣ. Diferenças constantes → reta (função afim/PA); razões constantes → exponencial. 1.000, 1.100, 1.210 → q = 1,1 → exponencial.
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Comportamento no longo prazo: para onde vão e^(−x), x·e^(−x) e a + b/(c + d·e^(−x)) quando x → +∞?
e^(−x) → 0; x·e^(−x) = x/eˣ → 0 (a exponencial domina qualquer polinômio). a + b/(c + d·e^(−x)) → a + b/c: assíntota horizontal, valor nunca atingido (900 + 1.600/2 = 1.700).
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Inequação exponencial e^u > e^v (ou aᵘ > aᵛ): como resolver?
Base > 1: compare os expoentes com o mesmo sentido (u > v). Base entre 0 e 1: inverte o sentido. Escreva o lado direito na mesma base (1/√e = e^(−1/2)) e depois resolva a inequação resultante (às vezes do 2º grau), cuidando do sinal ao multiplicar por denominadores negativos.
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