Quartis, boxplot, assimetria e curtose
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Cai no edital de Agente PF, Escrivão PF, Papiloscopista PF, Receita Federal, Receita Federal
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Resumo
Essência. Além do centro (média, mediana, moda) e da dispersão (variância, desvio padrão), a análise exploratória descreve a forma da distribuição: assimetria (para que lado fica a cauda) e curtose (quão pesadas são as caudas e quão alto é o pico).
- Quartis: Q1 (25%), Q2 = mediana (50%) e Q3 (75%). Amplitude interquartil AIQ = Q3 − Q1 (contém os 50% centrais).
- Boxplot: caixa de Q1 a Q3, traço na mediana, bigodes até os dados dentro das cercas Q1 − 1,5·AIQ e Q3 + 1,5·AIQ; o que fica fora é outlier.
- Simétrica: média = mediana = moda.
- Assimetria positiva (à direita): cauda longa à direita, moda < mediana < média (ex.: renda).
- Assimetria negativa (à esquerda): cauda à esquerda, média < mediana < moda.
- Curtose (coeficiente de momento m₄/s⁴): normal = 3 (mesocúrtica); > 3 leptocúrtica (pico alto, caudas pesadas); < 3 platicúrtica (achatada).
Exceções e distinções. Muitos livros e softwares usam o excesso de curtose (m₄/s⁴ − 3), em que a normal vale 0. A média é puxada por valores extremos; mediana e AIQ são resistentes a outliers.
Pegadinha Cebraspe. "Em uma distribuição com assimetria positiva, a média é inferior à mediana" → errado (a média fica do lado da cauda, à direita).
Visão geral
Estatística descritiva resume dados com tabelas (distribuição de frequências, classes), gráficos (histograma, polígono de frequências, ramo e folhas, boxplot, dispersão, setores, barras) e medidas (posição, dispersão, forma). O histograma mostra a forma; o boxplot mostra quartis, assimetria e outliers de forma compacta e permite comparar grupos lado a lado.
Regra
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Medidas de forma
| Medida | Fórmula | Leitura |
|---|---|---|
| 1º coef. de Pearson | (média − moda)/s | > 0 assimetria positiva |
| 2º coef. de Pearson | 3(média − mediana)/s | > 0 assimetria positiva |
| Coef. de Bowley (quartílico) | (Q3 + Q1 − 2·Md)/(Q3 − Q1) | 0 = simétrica; varia de −1 a 1 |
| Coef. de momento de assimetria | m₃/s³ | 0 na normal |
| Coef. percentílico de curtose | K = (Q3 − Q1)/[2(P90 − P10)] | 0,263 mesocúrtica; < 0,263 lepto; > 0,263 plati |
| Coef. de momento de curtose | m₄/s⁴ | 3 na normal |
m₃ e m₄ são os momentos centrais de 3ª e 4ª ordem: médias de (x − x̄)³ e (x − x̄)⁴.
Pontos-chave
Separatrizes: quartis (4 partes), decis (10), percentis (100). Q2 = D5 = P50 = mediana.
Exemplo de boxplot. Q1 = 20, Md = 25, Q3 = 30 → AIQ = 10; cercas em 20 − 15 = 5 e 30 + 15 = 45. Um valor 50 é outlier; um valor 44 não é.
Leitura do boxplot
- Mediana mais perto de Q1 e bigode superior longo → assimetria positiva.
- Caixa estreita → dados concentrados no centro.
- Comprimento da caixa = AIQ, não a amplitude total.
Efeito de outlier: altera muito média, desvio padrão e amplitude; quase não altera mediana, quartis e AIQ.
Como a banca cobra
- "Se moda < mediana < média, a distribuição é assimétrica à direita" → certo.
- "No boxplot, o comprimento da caixa corresponde à amplitude total dos dados" → errado (é a amplitude interquartil).
- "A mediana é mais resistente a valores extremos que a média" → certo.
- "Distribuição com coeficiente de curtose (momento) igual a 3 é leptocúrtica" → errado (é mesocúrtica, como a normal).
- "50% das observações estão entre o primeiro e o terceiro quartis" → certo.
Referência
Mapa mental
Separatrizes
- Q1 25%, Q2 mediana, Q3 75%
- AIQ = Q3 − Q1
- Decis e percentis
Boxplot
- Caixa de Q1 a Q3
- Cercas Q1 − 1,5·AIQ e Q3 + 1,5·AIQ
- Fora das cercas → outlier
Assimetria
- Simétrica: média = mediana = moda
- Positiva: moda < mediana < média
- Negativa: média < mediana < moda
- Coeficientes de Pearson e Bowley
Curtose
- Momento m₄/s⁴ = 3 na normal
- Leptocúrtica: pico alto, caudas pesadas
- Platicúrtica: achatada
- Percentílico 0,263 = mesocúrtica
⚠️ Pegadinha
- Média segue a cauda
- Excesso de curtose da normal = 0
Questão 1, Agente PF, Certo ou Errado
Em uma distribuição com assimetria positiva, a média é inferior à mediana.
Revelar gabarito
Gabarito: Errado
Errado. Na assimetria positiva, a cauda longa fica à direita e os valores extremos puxam a média para esse lado. A ordem típica é moda < mediana < média, oposta à afirmada no item.
Questão 2, Agente PF, Certo ou Errado
Se Q1 = 20 e Q3 = 40, valores acima de 70 são considerados outliers pelo critério do boxplot.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. A amplitude interquartil é 40 − 20 = 20. A cerca superior é Q3 + 1,5·AIQ = 40 + 30 = 70; logo, valores acima dela são outliers pelo critério do boxplot.
Questão 3, Agente PF, Certo ou Errado
Uma distribuição com coeficiente de curtose igual a 4,5 é classificada como platicúrtica.
Revelar gabarito
Gabarito: Errado
Errado. Pelo coeficiente de momento, a normal tem curtose 3. Valor maior que 3, como 4,5, indica distribuição leptocúrtica, com pico alto e caudas pesadas; platicúrtica seria valor menor que 3.
Questão 4, Agente PF, Certo ou Errado
A mediana é menos afetada por valores extremos que a média aritmética.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. A mediana depende da posição central dos dados ordenados, enquanto a média usa todos os valores e é puxada pelos extremos. Por isso, mediana e amplitude interquartil são medidas resistentes a outliers.
Questão 5, Agente PF, Certo ou Errado
Em distribuição assimétrica negativa, a moda é maior que a média.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. Na assimetria negativa, a cauda fica à esquerda e puxa a média para valores menores. A ordem típica é média < mediana < moda, de modo que a moda supera a média.
- Revelar resposta
Assimetria positiva — ordem de média, mediana e moda
Cauda longa à direita: moda < mediana < média (ex.: renda). Negativa: média < mediana < moda.
- Revelar resposta
Amplitude interquartil e cercas do boxplot
AIQ = Q3 − Q1 (50% centrais). Cercas: Q1 − 1,5·AIQ e Q3 + 1,5·AIQ; fora delas, outlier.
- Revelar resposta
Curtose (coeficiente m₄/s⁴)
Normal = 3 (mesocúrtica); > 3 leptocúrtica (pico alto, caudas pesadas); < 3 platicúrtica. No excesso de curtose, a normal vale 0.
- Revelar resposta
Medidas resistentes a outliers
Mediana e amplitude interquartil; a média e o desvio padrão são puxados por valores extremos.
- Revelar resposta
Distribuição simétrica unimodal
Média = mediana = moda; Q2 fica no meio da caixa do boxplot.
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