Médias geométrica e harmônica, e coeficiente de variação
3 min de leitura13 questões
Cai no edital de Agente PF, Escrivão PF, Papiloscopista PF, Caixa Econômica Federal, Receita Federal, Receita Federal
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Resumo
Essência. O edital pede quatro médias (aritmética, ponderada, geométrica e harmônica) e quatro medidas de dispersão (amplitude, variância, desvio padrão e coeficiente de variação). Média aritmética, mediana, moda e desvio padrão estão no tópico de estatística descritiva; aqui ficam as demais e as propriedades.
- Ponderada: Σ(pᵢ·xᵢ)/Σpᵢ.
- Geométrica: MG = ⁿ√(x₁·x₂·…·xₙ). Use para taxas de crescimento sucessivas.
- Harmônica: MH = n/Σ(1/xᵢ). Use para velocidades em trechos de mesma distância.
- Desigualdade: para valores positivos, MA ≥ MG ≥ MH; igualdade só se todos os valores forem iguais.
- Coeficiente de variação: CV = s/x̄ (em %). É adimensional e compara dispersões de variáveis com unidades ou médias diferentes.
Transformações lineares (y = a·x + b)
- Somar b: média soma b; amplitude, variância e desvio padrão não mudam.
- Multiplicar por a: média ×a; desvio padrão ×|a|; variância ×a².
- CV não muda ao multiplicar; muda ao somar constante.
Exceções e distinções. Variância populacional divide por N; amostral divide por n − 1. Variância está em unidade ao quadrado; desvio padrão, na unidade original.
Pegadinha Cebraspe. "Somar 10 a todos os salários aumenta o desvio padrão em 10" → errado (o desvio não muda).
Visão geral
Cada média responde a uma pergunta diferente. Se um preço sobe 10% e depois 20%, a taxa média que reproduz o efeito total é a geométrica dos fatores 1,10 e 1,20. Se um carro vai a 60 km/h e volta a 40 km/h pela mesma estrada, a velocidade média é a harmônica (48 km/h), não 50 km/h.
Regra
Ver íntegra
| Medida | Fórmula |
|---|---|
| Amplitude | máximo − mínimo |
| Variância populacional | σ² = Σ(xᵢ − μ)²/N |
| Variância amostral | s² = Σ(xᵢ − x̄)²/(n − 1) |
| Fórmula prática | σ² = média dos quadrados − (média)² |
| Desvio padrão | raiz da variância |
| CV | s/x̄ |
Pontos-chave
Exemplos
- MG de 1,10 e 1,20 = √1,32 ≈ 1,1489 → crescimento médio ≈ 14,9% por período (não 15%).
- MH de 60 e 40 = 2/(1/60 + 1/40) = 2/(5/120) = 48.
- Para esses dois números: MA = 50, MG = √2400 ≈ 48,99, MH = 48. Para dois valores, MG² = MA·MH (2400 = 50·48).
Comparação por CV. Turma A: média 80, s = 8 → CV = 10%. Turma B: média 40, s = 6 → CV = 15%. B tem dispersão relativa maior, embora tenha desvio absoluto menor.
Propriedades da média aritmética
- Soma dos desvios em relação à média = 0.
- Soma dos quadrados dos desvios é mínima em relação à média.
- Média é afetada por extremos; a geométrica exige valores positivos.
Como a banca cobra
- "Para um conjunto de números positivos não todos iguais, a média harmônica é menor que a geométrica" → certo.
- "Multiplicando todos os dados por 2, a variância também dobra" → errado (fica 4 vezes maior).
- "O coeficiente de variação permite comparar a dispersão de variáveis medidas em unidades distintas" → certo.
- "A velocidade média de ida a 60 km/h e volta a 40 km/h no mesmo percurso é 50 km/h" → errado (48 km/h).
Referência
Mapa mental
Médias
- Ponderada: Σ pᵢxᵢ / Σ pᵢ
- Geométrica: taxas de crescimento
- Harmônica: velocidades na mesma distância
- MA ≥ MG ≥ MH
Dispersão
- Amplitude: máximo − mínimo
- Variância populacional ÷ N
- Variância amostral ÷ (n − 1)
- CV = s / média, adimensional
Transformações
- Somar constante: dispersão não muda
- Multiplicar por a: variância × a²
- CV muda ao somar
⚠️ Pegadinha
- 60 e 40 km/h → 48, não 50
- Desvio padrão não muda ao somar
Questão 1, Agente PF, Certo ou Errado
Somar 10 reais a todos os salários de uma empresa aumenta em 10 reais o desvio padrão desses salários.
Revelar gabarito
Gabarito: Errado
Errado. Somar uma constante desloca todos os valores igualmente, sem alterar a distância entre eles. A média aumenta em 10 reais, mas amplitude, variância e desvio padrão permanecem exatamente os mesmos.
Questão 2, Agente PF, Certo ou Errado
Um veículo que percorre metade de um trajeto a 60 km/h e a outra metade, de mesma distância, a 40 km/h tem velocidade média de 48 km/h.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. Em trechos de mesma distância, usa-se a média harmônica: 2/(1/60 + 1/40) = 2/(5/120) = 48 km/h. A média aritmética, 50 km/h, não reproduz o tempo total gasto no percurso.
Questão 3, Agente PF, Certo ou Errado
Para um conjunto de números positivos não todos iguais, a média geométrica é maior que a média aritmética.
Revelar gabarito
Gabarito: Errado
Errado. A desigualdade das médias estabelece MA ≥ MG ≥ MH para valores positivos, com igualdade somente se todos forem iguais. Portanto, para valores diferentes, a média geométrica é menor que a aritmética.
Questão 4, Agente PF, Certo ou Errado
Multiplicar todos os valores de uma variável por 3 multiplica sua variância por 9.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. Multiplicar por uma constante a multiplica o desvio padrão por |a| e a variância por a², pois Var(aX) = a²·Var(X). Com a = 3, a variância fica multiplicada por 9.
Questão 5, Agente PF, Certo ou Errado
O coeficiente de variação permite comparar a dispersão de variáveis medidas em unidades diferentes.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. O coeficiente de variação é o desvio padrão dividido pela média, de modo que as unidades se cancelam. Por ser adimensional, permite comparar a dispersão relativa de variáveis com unidades ou médias diferentes.
- Revelar resposta
Média geométrica — quando usar
MG = ⁿ√(x₁·…·xₙ). Para taxas de crescimento sucessivas (ex.: crescimento médio anual).
- Revelar resposta
Média harmônica — quando usar
MH = n/Σ(1/xᵢ). Para velocidades em trechos de mesma distância.
- Revelar resposta
Desigualdade das médias
Para valores positivos: MA ≥ MG ≥ MH; igualdade só se todos os valores forem iguais.
- Revelar resposta
Coeficiente de variação
CV = s/x̄. Adimensional; compara dispersão de variáveis com unidades ou médias diferentes.
- Revelar resposta
Efeito de y = a·x + b em média, desvio e variância
Somar b: média soma b; dispersão não muda. Multiplicar por a: média ×a, desvio ×|a|, variância ×a².
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