Lei dos grandes números, teorema central do limite e distribuições amostrais

Amostra aleatória, parâmetro e estatística

Uma amostra aleatória X₁, …, Xₙ é formada por variáveis independentes e com a mesma distribuição da população (média μ, variância σ²). Parâmetro é característica fixa e desconhecida da população: μ, σ², p. Estatística é função da amostra e muda de amostra para amostra: X̄, S², p̂. A distribuição de uma estatística chama-se distribuição amostral.

Ex.: a altura média dos 12.000 agentes é parâmetro. A altura média de 50 agentes sorteados é estatística; outro sorteio daria outro valor.

Média amostral e erro padrão

E[X̄] = μ e Var(X̄) = σ²/n. O desvio padrão de X̄ chama-se erro padrão: σ/√n. Ele cai com a raiz de n: para reduzi-lo à metade, quadruplica-se a amostra.

Ex.: σ = 20 e n = 100: erro padrão = 20 ÷ 10 = 2. Com n = 400, cai para 1. Dobrar n (200) reduz só por √2, para cerca de 1,41.

Lei dos grandes números

Quando n cresce, a média amostral converge para a média populacional μ. A versão fraca fala em convergência em probabilidade; a forte, em convergência quase certa. A lei justifica estimar probabilidades por frequências relativas. Ela não diz que resultados passados são "compensados" no curto prazo: cada ensaio continua independente.

Ex.: em 10 lançamentos de moeda honesta, a proporção de caras pode ser 0,7. Em 10.000, fica perto de 0,5. Depois de cinco caras seguidas, a chance de coroa no sexto lançamento continua 0,5.

Teorema central do limite

Para n grande, X̄ tem distribuição aproximadamente normal, com média μ e variância σ²/n, qualquer que seja a forma da distribuição da população, desde que a variância seja finita. A regra prática é n ≥ 30. O mesmo vale para a soma das observações.

Ex.: população com μ = 50 e σ = 12; amostra de n = 36.

• Erro padrão: 12 ÷ √36 = 2.
• P(X̄ > 54) = P(Z > (54 − 50) ÷ 2) = P(Z > 2) ≈ 2,3%.

O que o teorema não diz

O teorema trata da distribuição da média, não dos dados. Amostra grande de população assimétrica continua assimétrica; o que se aproxima da normal é a distribuição das médias de muitas amostras. Se a população já é normal, X̄ é exatamente normal para qualquer n, sem exigir n ≥ 30.

Ex.: a renda tem distribuição assimétrica à direita. O histograma de 10.000 rendas continua assimétrico. Já as médias de muitas amostras de 100 rendas formam histograma em forma de sino.

Proporção amostral

A proporção p̂ é média de variáveis de Bernoulli. Tem valor esperado p e erro padrão √(p(1 − p)/n). Para n grande, é aproximadamente normal.

Ex.: p = 0,2 e n = 400: erro padrão = √(0,2 × 0,8 ÷ 400) = √0,0004 = 0,02.

Distribuições amostrais em população normal

A t é simétrica, tem caudas mais pesadas que a normal e tende a ela quando os graus de liberdade crescem. A qui-quadrado é assimétrica à direita e só assume valores positivos.

Ex.: amostra de 16 observações de população normal, σ desconhecido. A estatística (X̄ − μ)/(S/4) segue t com 15 graus de liberdade.

População finita

Na amostragem sem reposição de população finita de tamanho N, a variância de X̄ é multiplicada pelo fator de correção (N − n)/(N − 1). O fator é desprezível quando n é pequeno diante de N.

Ex.: N = 1.000 e n = 100: fator = 900 ÷ 999 ≈ 0,90. A variância de X̄ cai cerca de 10% em relação a σ²/n.