Testes de hipóteses, teste t e qui-quadrado
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Cai no edital de Agente PF, Escrivão PF, Papiloscopista PF, Receita Federal, Receita Federal
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Resumo
O teste de hipóteses usa a amostra para decidir entre a hipótese nula H₀ e a alternativa H₁. A decisão é rejeitar ou não rejeitar H₀, sempre com risco de erro.
- H₀: hipótese de referência; contém a igualdade.
- Erro tipo I: rejeitar H₀ verdadeira; probabilidade α, o nível de significância.
- Erro tipo II: não rejeitar H₀ falsa; probabilidade β.
- Poder (potência): 1 − β, a probabilidade de rejeitar H₀ falsa.
- p-valor: rejeita-se H₀ quando ele é menor ou igual a α.
- Testes do edital: t de Student para médias; qui-quadrado para frequências.
Entenda
Hipóteses
H₀ representa a situação de referência e contém a igualdade. H₁ é o que se quer evidenciar. A hipótese simples fixa um único valor do parâmetro (μ = 50); a composta admite vários (μ > 50). O teste é bilateral quando H₁ usa "≠" e unilateral quando usa "<" ou ">".
Ex.: a fábrica afirma que o colete suporta em média 50 impactos. H₀: μ = 50 (simples). H₁: μ < 50 (composta, unilateral à esquerda).
Erros tipo I e tipo II
| Decisão | H₀ verdadeira | H₀ falsa |
|---|---|---|
| Rejeitar H₀ | Erro tipo I (α) | Acerto (poder = 1 − β) |
| Não rejeitar H₀ | Acerto | Erro tipo II (β) |
Ex.: H₀: o réu é inocente. Condenar inocente é erro tipo I. Absolver culpado é erro tipo II.
Nível de significância e poder
O nível de significância α é a probabilidade de erro tipo I e se fixa antes do teste (5% e 1% são usuais). Com n fixo, reduzir α aumenta β: exigir mais evidência para rejeitar faz o teste deixar passar mais hipóteses falsas. Aumentar n reduz os dois erros. O poder cresce com n, com α e com a distância entre o valor real e o de H₀.
Ex.: passar de α = 5% para α = 1% com a mesma amostra torna a região de rejeição menor. Fica mais difícil rejeitar H₀, verdadeira ou falsa: β sobe e o poder cai.
p-valor
É a probabilidade, supondo H₀ verdadeira, de obter resultado tão extremo quanto o observado, ou mais. Regra de decisão: rejeita-se H₀ se p-valor ≤ α. O p-valor não é a probabilidade de H₀ ser verdadeira.
Ex.: p-valor de 0,03. Com α = 5%, rejeita-se H₀. Com α = 1%, não se rejeita.
Roteiro e conclusão
- Formular H₀ e H₁.
- Fixar α.
- Calcular a estatística de teste.
- Comparar com o valor crítico ou obter o p-valor.
- Concluir no contexto do problema.
Não rejeitar H₀ não prova que ela é verdadeira: indica só que faltou evidência contra ela.
Ex.: "não se rejeitou a hipótese de que a média é 50" é conclusão correta. "Provou-se que a média é 50" não é.
Teste t de Student
Compara médias quando σ é desconhecido. Supõe amostra aleatória e população aproximadamente normal, ou n grande.
| Caso | Estatística | Graus de liberdade |
|---|---|---|
| Uma amostra | t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) | n − 1 |
| Duas amostras independentes, variâncias iguais | Diferença das médias ÷ erro padrão combinado | n₁ + n₂ − 2 |
| Pareado | Média das diferenças ÷ (s_d/√n) | n − 1, com n pares |
Ex.: H₀: μ = 50 contra H₁: μ ≠ 50; n = 16, x̄ = 52, s = 8. t = (52 − 50) ÷ (8 ÷ 4) = 1. O valor crítico bilateral a 5%, com 15 graus de liberdade, é 2,131. Como 1 < 2,131, não se rejeita H₀.
Teste qui-quadrado
Compara frequências observadas (O) com esperadas (E): χ² = Σ(O − E)²/E. A estatística nunca é negativa, e rejeita-se H₀ para valores grandes (cauda direita). Regra prática: frequências esperadas de pelo menos 5.
- Aderência: os dados seguem certa distribuição? Graus de liberdade: k − 1, menos os parâmetros estimados.
- Independência: duas variáveis de uma tabela de contingência são independentes? Graus de liberdade: (linhas − 1) × (colunas − 1). Frequência esperada da célula: total da linha × total da coluna ÷ total geral.
Ex. de aderência: moeda lançada 100 vezes dá 60 caras. Esperado: 50 e 50. χ² = (60 − 50)²/50 + (40 − 50)²/50 = 2 + 2 = 4. Com 1 grau de liberdade, o crítico a 5% é 3,841: rejeita-se a hipótese de moeda honesta.
Ex. de independência: tabela 3 × 4 tem (3 − 1) × (4 − 1) = 6 graus de liberdade. Linha com total 40, coluna com total 30 e total geral 100: esperado = 40 × 30 ÷ 100 = 12.
Teste mais poderoso
Para hipóteses simples, o lema de Neyman-Pearson mostra que o teste de maior poder, fixado α, baseia-se na razão de verossimilhanças.
Ex.: H₀: μ = 50 contra H₁: μ = 55, ambas simples. Entre os testes com α = 5%, o da razão de verossimilhanças tem o menor β.
Como a banca cobra
- "O nível de significância de um teste é a probabilidade de não rejeitar H₀ quando ela é falsa." → errado (essa é β; α é rejeitar H₀ verdadeira).
- "Com p-valor de 0,03 e nível de significância de 5%, rejeita-se a hipótese nula." → certo (0,03 ≤ 0,05).
- "O p-valor corresponde à probabilidade de a hipótese nula ser verdadeira." → errado (é calculado supondo H₀ verdadeira).
- "Mantido o tamanho da amostra, reduzir o nível de significância tende a aumentar a probabilidade de erro tipo II." → certo.
- "O poder do teste é a probabilidade de cometer o erro do tipo II." → errado (é 1 − β).
- "O erro do tipo I consiste em rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira." → certo.
- "O teste qui-quadrado de independência compara frequências observadas e esperadas em tabela de contingência." → certo.
- "Não rejeitar H₀ prova que ela é verdadeira." → errado (só faltou evidência).
- "Com p-valor de 0,03, rejeita-se H₀ ao nível de 1%." → errado (0,03 > 0,01).
- Detalhe que derruba o item: a banca troca α por β e inverte a condição. Erro tipo I e α pressupõem H₀ verdadeira; erro tipo II, β e poder pressupõem H₀ falsa.
Revisão rápida
O que é erro tipo I?Revelar
Rejeitar H₀ verdadeira.
O que é erro tipo II?Revelar
Não rejeitar H₀ falsa.
O que é o nível de significância?Revelar
A probabilidade de erro tipo I (α).
O que é o poder do teste?Revelar
A probabilidade de rejeitar H₀ falsa: 1 − β.
Quando se rejeita H₀ pelo p-valor?Revelar
Quando p-valor ≤ α.
O que acontece com β se α diminui e n fica igual?Revelar
Aumenta.
Quantos graus de liberdade tem o t de uma amostra?Revelar
n − 1.
Quantos graus de liberdade tem o qui-quadrado de independência?Revelar
(linhas − 1) × (colunas − 1).
Referência
Mapa mental
Hipóteses
- H₀ contém a igualdade
- Simples: um valor; composta: vários
- Bilateral ≠; unilateral < ou >
Erros
- Tipo I: rejeitar H₀ verdadeira, α
- Tipo II: manter H₀ falsa, β
- Poder = 1 − β
- n fixo: menor α, maior β
p-valor
- Prob. de resultado extremo sob H₀
- Rejeita se p-valor ≤ α
Teste t
- σ desconhecido
- Uma amostra: n − 1 g.l.
- Duas amostras: n₁ + n₂ − 2
- Pareado: diferenças
Qui-quadrado
- Σ(O − E)²/E
- Independência: (r − 1)(c − 1) g.l.
- Esperadas ≥ 5
⚠️ Pegadinha
- p-valor não é P(H₀ verdadeira)
- Não rejeitar não prova H₀
Questão 1, Agente PF, Certo ou Errado
O nível de significância de um teste é a probabilidade de não rejeitar H₀ quando ela é falsa.
Revelar gabarito
Gabarito: Errado
Errado. O item descreve β, a probabilidade do erro tipo II. O nível de significância α é a probabilidade do erro tipo I, ou seja, rejeitar H₀ quando ela é verdadeira.
Questão 2, Agente PF, Certo ou Errado
Com p-valor de 0,03 e nível de significância de 5%, rejeita-se a hipótese nula.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. A regra decisória rejeita H₀ quando o p-valor é menor ou igual a α. Como 0,03 é inferior a 0,05, há evidência suficiente para rejeitar a hipótese nula ao nível de 5%.
Questão 3, Agente PF, Certo ou Errado
O p-valor corresponde à probabilidade de a hipótese nula ser verdadeira.
Revelar gabarito
Gabarito: Errado
Errado. O p-valor é calculado supondo H₀ verdadeira e mede a chance de obter resultado tão ou mais extremo que o observado. Portanto, ele não informa a probabilidade de a hipótese nula ser verdadeira.
Questão 4, Agente PF, Certo ou Errado
Mantido o tamanho da amostra, reduzir o nível de significância tende a aumentar a probabilidade de erro tipo II.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. Com n fixo, tornar o teste mais rigoroso para rejeitar H₀ reduz α, mas aumenta a chance de não rejeitar H₀ falsa. Aumentar o tamanho da amostra reduz os dois erros.
Questão 5, Agente PF, Certo ou Errado
O teste qui-quadrado de independência compara frequências observadas e esperadas em tabela de contingência.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. O teste qui-quadrado calcula Σ(O − E)²/E, com frequências esperadas obtidas pelos totais da linha e da coluna. Na independência, os graus de liberdade são (r − 1)(c − 1).
- Revelar resposta
Erro tipo I × erro tipo II
Tipo I (α): rejeitar H₀ verdadeira. Tipo II (β): não rejeitar H₀ falsa. Poder = 1 − β.
- Revelar resposta
p-valor
Probabilidade, supondo H₀ verdadeira, de resultado tão ou mais extremo que o observado. Rejeita-se H₀ se p-valor ≤ α.
- Revelar resposta
Relação entre α, β e n
Com n fixo, diminuir α aumenta β; aumentar n reduz ambos.
- Revelar resposta
Teste t × qui-quadrado
t: compara médias com σ desconhecido. Qui-quadrado: frequências observadas × esperadas (aderência, independência).
- Revelar resposta
Não rejeitar H₀ prova H₀?
Não: apenas falta evidência para rejeitá-la. O p-valor também não é a probabilidade de H₀ ser verdadeira.
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