Coeficiente de correlação de Pearson
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Resumo
Essência. O coeficiente de Pearson (r) mede a força e o sentido da associação linear entre duas variáveis quantitativas.
- Fórmula: r = Cov(X, Y)/(s_X·s_Y) = Sxy/√(Sxx·Syy), em que Sxy = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ).
- Limites: −1 ≤ r ≤ 1. r = 1 ou −1: pontos exatamente sobre uma reta. Sinal positivo: crescem juntas; negativo: uma cresce e a outra cai.
- Adimensional e simétrico: r(X, Y) = r(Y, X).
- Invariante a mudanças de origem e de escala positivas (converter cm em m não muda r). Multiplicar uma variável por número negativo troca o sinal.
- Na regressão linear simples, r² = R² (fração da variação de Y explicada pela reta).
Exceções e distinções. r = 0 indica ausência de relação linear, não de qualquer relação: em y = x² com x simétrico em torno de zero, r = 0 e a relação é perfeita. r é sensível a outliers. Correlação não implica causalidade (pode haver variável de confusão).
Pegadinha Cebraspe. "Coeficiente de correlação nulo indica que as variáveis são independentes" → errado.
Visão geral
A covariância indica o sentido da associação, mas depende das unidades (cm·kg, por exemplo). Dividindo pelos desvios padrão obtém-se r, que fica entre −1 e 1 e permite comparar associações. O diagrama de dispersão deve vir antes do cálculo: ele mostra curvas, grupos e outliers que r esconde.
Regra
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| Valor de r | Leitura |
|---|---|
| 1 | linear perfeita positiva |
| perto de 1 | forte positiva |
| perto de 0 | fraca ou nenhuma relação linear |
| perto de −1 | forte negativa |
| −1 | linear perfeita negativa |
Teste de significância (H₀: ρ = 0): t = r·√(n − 2)/√(1 − r²), com n − 2 g.l.
Pontos-chave
Exemplo. x = 1, 2, 3, 4, 5; y = 2, 4, 5, 4, 5.
- x̄ = 3; ȳ = 4.
- Desvios de x: −2, −1, 0, 1, 2; de y: −2, 0, 1, 0, 1.
- Sxy = 4 + 0 + 0 + 0 + 2 = 6; Sxx = 10; Syy = 6.
- r = 6/√60 ≈ 0,77; r² = 0,6.
Propriedades
- Somar constante ou multiplicar por constante positiva não altera r.
- Cov(X, Y) = E[XY] − E[X]E[Y]; Cov(X, X) = Var(X).
- r é medido em relação às médias: dois grupos com r baixo podem, juntos, dar r alto (e vice-versa).
Como a banca cobra
- "O coeficiente de Pearson varia entre −1 e 1" → certo.
- "Se a altura for medida em metros em vez de centímetros, o coeficiente de correlação com o peso se altera" → errado.
- "Correlação forte entre duas variáveis demonstra relação de causa e efeito" → errado.
- "Na regressão linear simples, o coeficiente de determinação é o quadrado do coeficiente de correlação" → certo.
Referência
Mapa mental
Definição
- r = Cov(X,Y) / (sX·sY)
- Mede associação linear
Limites
- Entre −1 e 1
- ±1: pontos sobre uma reta
- Sinal indica o sentido
Propriedades
- Adimensional e simétrico
- Invariante a escala positiva
- Escala negativa troca o sinal
- r² = R² na regressão simples
Limitações
- r = 0 não é independência
- Sensível a outliers
- Correlação não é causalidade
⚠️ Pegadinha
- y = x² pode dar r = 0
Questão 1, Agente PF, Certo ou Errado
Coeficiente de correlação de Pearson nulo indica que as variáveis são independentes.
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Gabarito: Errado
Errado. O coeficiente r mede apenas associação linear. Em y = x², com x simétrico em torno de zero, r vale zero mesmo havendo relação perfeita; logo, r nulo não garante independência.
Questão 2, Agente PF, Certo ou Errado
Converter uma variável de centímetros para metros altera o coeficiente de correlação de Pearson.
Revelar gabarito
Gabarito: Errado
Errado. O coeficiente de Pearson é adimensional e invariante a mudanças de origem e de escala positivas. Converter centímetros em metros equivale a multiplicar por constante positiva, sem alterar o valor de r.
Questão 3, Agente PF, Certo ou Errado
Se o coeficiente de correlação entre X e Y é 0,8, o coeficiente de determinação da regressão linear simples de Y em X é 0,64.
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Gabarito: Certo
Certo. Na regressão linear simples, o coeficiente de determinação é o quadrado da correlação: R² = r² = 0,8² = 0,64. Assim, 64% da variação de Y é explicada pela reta ajustada.
Questão 4, Agente PF, Certo ou Errado
Se r(X, Y) = 0,5, então a correlação entre −2X e Y é igual a −0,5.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. A multiplicação por constante negativa inverte o sentido da associação e mantém sua intensidade. O fator −2 troca o sinal de r, de modo que 0,5 passa a −0,5.
Questão 5, Agente PF, Certo ou Errado
Forte correlação positiva entre duas variáveis comprova que uma é causa da outra.
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Gabarito: Errado
Errado. Correlação indica associação, mas não prova causalidade, mesmo quando forte. A relação observada pode decorrer de uma variável de confusão, que influencia as duas variáveis analisadas.
- Revelar resposta
Coeficiente de Pearson — limites e significado
−1 ≤ r ≤ 1; mede força e sentido da associação linear. |r| = 1: pontos sobre uma reta.
- Revelar resposta
r = 0 significa independência?
Não: só ausência de relação linear (ex.: y = x² com x simétrico em torno de zero).
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Efeito de mudança de escala em r
Mudança de origem e escala positiva não altera r; multiplicar uma variável por número negativo troca o sinal.
- Revelar resposta
Relação entre r e R² na regressão simples
R² = r².
- Revelar resposta
Correlação e causalidade
Correlação não implica causalidade; pode haver variável de confusão. r é sensível a outliers.
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