Distribuição normal, padronização e regra empírica

Forma e parâmetros

A curva é simétrica em torno de μ, tem pontos de inflexão em μ ± σ e caudas que se aproximam do eixo sem tocá-lo. A área total sob a curva vale 1. Mudar μ desloca a curva; aumentar σ a deixa mais baixa e mais espalhada. A notação N(μ, σ²) traz a variância: em N(100, 25), o desvio padrão é 5.

Ex.: N(50, 16) e N(50, 100) têm o mesmo centro. A primeira (σ = 4) é alta e estreita; a segunda (σ = 10), baixa e larga.

Padronização (escore z)

Z = (X − μ)/σ transforma qualquer normal na normal padrão, de média 0 e variância 1. O escore z diz a quantos desvios padrão o valor está da média e permite usar uma única tabela. Pela simetria, P(Z ≤ −z) = P(Z ≥ z) e P(Z > 0) = 0,5.

Ex.: altura ~ N(170, 10²). Altura de 185 cm: z = (185 − 170) ÷ 10 = 1,5, ou seja, 1,5 desvio acima da média.

Regra empírica (três sigma)

Ex.: altura ~ N(170, 10²). P(160 < X < 180) ≈ 68%. P(X > 190) = P(Z > 2): sobra 5% fora de μ ± 2σ, metade em cada cauda, cerca de 2,5% (pela tabela, 2,3%).

Comparar posições com o escore z

O escore z põe na mesma escala valores de distribuições diferentes. O maior z indica a posição relativa mais alta.

Ex.: nota 80 em prova de média 70 e desvio 5: z = 2. Nota 90 em prova de média 80 e desvio 10: z = 1. A primeira nota é relativamente melhor.

Transformação linear e soma

• Se X ~ N(μ, σ²), então aX + b ~ N(aμ + b, a²σ²).
• Se X e Y são normais independentes, X + Y ~ N(μ₁ + μ₂, σ₁² + σ₂²). Somam-se as variâncias, nunca os desvios padrão.

Ex.: X ~ N(10, 9) e Y ~ N(20, 16), independentes. X + Y ~ N(30, 25): desvio padrão √25 = 5, e não 3 + 4 = 7.

Chebyshev: quando a distribuição não é normal

A regra 68-95-99,7 vale para a normal. Para qualquer distribuição com variância finita, a desigualdade de Chebyshev garante só um mínimo: pelo menos 1 − 1/k² dos valores ficam a até k desvios padrão da média.

Ex.: k = 2: no mínimo 1 − 1/4 = 75% dos valores. k = 3: no mínimo 1 − 1/9 ≈ 89%. Em distribuição assimétrica, não se pode afirmar 95% em μ ± 2σ.

Aproximação normal da binomial

Com np ≥ 5 e n(1 − p) ≥ 5, a binomial(n, p) se aproxima de N(np, np(1 − p)). Como a binomial é discreta, usa-se a correção de continuidade de 0,5.

Ex.: n = 100 e p = 0,5: média 50 e desvio padrão √25 = 5. P(X ≥ 60) ≈ P(Z > (59,5 − 50) ÷ 5) = P(Z > 1,9) ≈ 2,9%.

Onde a normal aparece

Descreve medidas que resultam da soma de muitos efeitos pequenos, como alturas e erros de medição. É o limite das médias amostrais pelo teorema central do limite. Por isso sustenta intervalos de confiança, testes de hipóteses e a suposição sobre os erros da regressão.

Ex.: o intervalo de 95% para a média usa z = 1,96 porque 95% da área da normal padrão fica entre −1,96 e 1,96.