Intervalos de confiança e de credibilidade

Estrutura do intervalo

A estimativa pontual vem com uma margem de erro E: IC = estimativa ± E. A margem é o valor crítico multiplicado pelo erro padrão. O valor crítico depende do nível de confiança.

Ex.: pesquisa aponta 40% de aprovação, com margem de 3 pontos e 95% de confiança. O intervalo é [37%; 43%].

Média com σ conhecido

IC = x̄ ± z·σ/√n. O erro padrão da média é σ/√n.

Ex.: x̄ = 100, σ = 15, n = 225.

• Erro padrão: 15 ÷ √225 = 15 ÷ 15 = 1.
• IC de 95%: 100 ± 1,96 × 1 = [98,04; 101,96].
• IC de 99%: 100 ± 2,576 × 1 = [97,42; 102,58], mais largo.

Média com σ desconhecido

Troca-se σ pelo desvio padrão amostral s e z pelo valor t com n − 1 graus de liberdade: IC = x̄ ± t·s/√n. Vale para população normal; pesa mais em amostra pequena. A t tem caudas mais pesadas que a normal, e o intervalo fica mais largo. Com n grande, t se aproxima de z.

Ex.: n = 16, x̄ = 20, s = 4. Com 15 graus de liberdade e 95%, t = 2,131. Erro padrão: 4 ÷ √16 = 1. IC: 20 ± 2,131 = [17,87; 22,13].

Proporção

Para n grande: IC = p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n).

Ex.: em 600 entrevistados, 240 aprovam (p̂ = 0,40). Erro padrão: √(0,4 × 0,6 ÷ 600) = √0,0004 = 0,02. IC de 95%: 0,40 ± 1,96 × 0,02 = [0,361; 0,439].

Variância

O IC para σ², em população normal, usa a qui-quadrado com n − 1 graus de liberdade: [(n − 1)s²/χ²_sup; (n − 1)s²/χ²_inf]. Como a qui-quadrado é assimétrica, o intervalo não é simétrico em torno de s².

Ex.: item que afirma "o intervalo para a variância é s² ± margem" está errado. Os limites saem de dois quantis diferentes da qui-quadrado.

O que alarga e o que estreita o intervalo

• Mais confiança: valor crítico maior, intervalo mais largo.
• Mais variabilidade (σ): intervalo mais largo.
• Amostra maior: intervalo mais estreito, na razão de √n.

Para cortar a amplitude pela metade, é preciso quadruplicar n. A mesma fórmula da margem dá o tamanho da amostra: n = (z·σ/E)².

Ex.: com σ = 15 e n = 225, a margem de 95% é 1,96. Com n = 900, o erro padrão cai para 0,5 e a margem para 0,98. Para margem E = 3: n = (1,96 × 15 ÷ 3)² = 96,04, logo 97 elementos.

Interpretação clássica (frequentista)

O parâmetro é fixo e desconhecido. O que varia de amostra para amostra é o intervalo. "95% de confiança" significa: se o método fosse repetido muitas vezes, 95% dos intervalos construídos conteriam o parâmetro. Um intervalo já calculado contém o parâmetro ou não contém. O IC também não é a faixa que abriga 95% das observações.

Ex.: de 100 amostras, saem 100 intervalos diferentes. Espera-se que cerca de 95 contenham μ. Sobre o intervalo [98; 102] de uma amostra, a abordagem clássica não atribui probabilidade a μ.

Intervalo de credibilidade (bayesiano)

Na abordagem bayesiana, o parâmetro θ é tratado como variável aleatória. Parte-se de uma distribuição a priori (crença antes dos dados), que os dados atualizam: posteriori ∝ priori × verossimilhança. O intervalo de credibilidade de 95% é uma faixa com probabilidade 0,95 na distribuição a posteriori. O intervalo HPD (maior densidade a posteriori) é o mais curto com a credibilidade pedida.

Ex.: intervalo de credibilidade de 95% igual a [0,36; 0,44] para uma proporção. Aqui se pode dizer: dados os dados observados, θ está nesse intervalo com probabilidade 0,95.

Relação com o teste de hipóteses

O IC de nível 1 − α equivale ao teste bilateral com significância α. Se o valor μ₀ fica fora do IC de 95%, rejeita-se H₀: μ = μ₀ a 5%. Se fica dentro, não se rejeita.

Ex.: IC de 95% igual a [98,04; 101,96]. H₀: μ = 103 é rejeitada a 5%; H₀: μ = 99 não é.