Distribuições de probabilidade
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Resumo
Variável aleatória. Associa um número a cada resultado de um experimento. É discreta quando assume valores contáveis, com função de probabilidade, e contínua quando tem função de densidade. Em uma variável contínua, P(X = x) = 0 e a probabilidade é a área sob a densidade. A função de distribuição acumulada F(x) = P(X ≤ x) é não decrescente e vai de 0 a 1.
Discretas. Bernoulli: um ensaio, média p e variância p(1 − p). Binomial: número de sucessos em n ensaios independentes, média np e variância np(1 − p). Poisson: contagens por intervalo, com média e variância iguais a λ. Geométrica: número de ensaios até o primeiro sucesso, com média 1/p.
Contínuas. Uniforme em [a, b]: média (a + b)/2 e variância (b − a)²/12. Exponencial: média 1/λ, variância 1/λ² e falta de memória. Normal: simétrica, definida por μ e σ²; combinação linear de normais conjuntamente normais é normal.
Derivadas da normal. Qui-quadrado com k graus de liberdade é soma de k normais padrão independentes ao quadrado, com média k e variância 2k. A t de Student tem caudas mais pesadas que a normal e converge para ela. A F é razão de qui-quadrados independentes divididos por seus graus de liberdade.
Visão geral
| Distribuição | Média | Variância |
|---|---|---|
| Binomial(n, p) | np | np(1 − p) |
| Poisson(λ) | λ | λ |
| Exponencial(λ) | 1/λ | 1/λ² |
| Uniforme(a, b) | (a + b)/2 | (b − a)²/12 |
| Qui-quadrado(k) | k | 2k |
Regra
Ver íntegra
Na Poisson, média e variância coincidem. Na exponencial, média e desvio padrão coincidem. Em variável contínua, probabilidade de ponto é zero, então P(X ≤ a) = P(X < a).
Pontos-chave
- Contínua: probabilidade é área, nunca o valor da densidade.
- Poisson: E = Var = λ.
- Exponencial: sem memória.
- t de Student: caudas mais pesadas que a normal.
- Qui-quadrado: E = k, Var = 2k.
Como a banca cobra
Exemplos autorais, no formato da banca.
- "Em uma distribuição de Poisson, a variância é igual à média." → certo.
- "Para variável contínua, a densidade em um ponto é a probabilidade de ocorrência desse ponto." → errado (a probabilidade de um ponto é zero).
Referência
Mapa mental
Conceitos
- Discreta: função de probabilidade
- Contínua: densidade e área
- Acumulada F(x)
Discretas
- Bernoulli: p
- Binomial: np
- Poisson: média = variância
- Geométrica: 1/p
Contínuas
- Uniforme
- Exponencial sem memória
- Normal: μ e σ²
Derivadas da normal
- Qui-quadrado: k e 2k
- t: caudas pesadas
- F: razão de qui-quadrados
Questão 1, Certo ou Errado
Se X segue distribuição de Poisson com parâmetro λ, a média e a variância de X são ambas iguais a λ.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. A distribuição de Poisson, usada para contagens por intervalo, tem a propriedade distintiva de que E[X] = Var(X) = λ, ou seja, média e variância são iguais ao mesmo parâmetro.
Questão 2, Certo ou Errado
Se X é variável aleatória contínua com densidade f, então P(X = a) = f(a) para todo a real.
Revelar gabarito
Gabarito: Errado
Errado. Em variável contínua, P(X = a) = 0 para qualquer a, pois a probabilidade é área sob a densidade. O valor f(a) é densidade, e não probabilidade de um ponto.
Questão 3, Certo ou Errado
A distribuição exponencial possui a propriedade de falta de memória: P(X > s + t | X > s) = P(X > t).
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. Na exponencial, o tempo já decorrido não altera a distribuição do tempo restante; a igualdade P(X > s + t | X > s) = P(X > t) expressa essa falta de memória.
Questão 4, Certo ou Errado
Uma variável qui-quadrado com k graus de liberdade tem média 2k e variância k.
Revelar gabarito
Gabarito: Errado
Errado. Os valores estão trocados: a qui-quadrado com k graus de liberdade tem média k e variância 2k, por ser soma de k normais padrão independentes ao quadrado.
Questão 5, Certo ou Errado
A distribuição t de Student possui caudas mais leves que as da normal padrão, razão pela qual seus valores críticos são menores.
Revelar gabarito
Gabarito: Errado
Errado. A t de Student tem caudas mais pesadas que a normal, e não mais leves; por isso, seus valores críticos são maiores em módulo, aproximando-se da normal quando os graus de liberdade crescem.
- Revelar resposta
Média e variância da binomial
np e np(1 − p).
- Revelar resposta
Propriedade da Poisson
Média = variância = λ.
- Revelar resposta
Exponencial(λ)
Média 1/λ, variância 1/λ², sem memória.
- Revelar resposta
Probabilidade de ponto em contínua
Zero: probabilidade é área sob a densidade.
- Revelar resposta
Qui-quadrado(k)
Soma de k normais padrão independentes ao quadrado; média k, variância 2k.
- Revelar resposta
Uniforme e binomial
Uniforme: média (a+b)/2, var (b−a)²/12. Binomial: var np(1−p).
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