Regressão linear simples
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Resumo
Modelo. y = β₀ + β₁x + u. O método de mínimos quadrados ordinários (MQO) escolhe os coeficientes que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos. Resultado: β̂₁ = Cov(x, y)/Var(x) e β̂₀ = ȳ − β̂₁x̄.
Propriedades algébricas, com intercepto. A reta passa por (x̄, ȳ). Os resíduos somam zero e têm covariância amostral zero com x. Isso vale por construção e não prova que o erro populacional seja exógeno.
Hipóteses clássicas. Linearidade nos parâmetros, amostragem aleatória, variação em x e média condicional zero, E[u | x] = 0, garantem não viés. Somando homocedasticidade, vem o teorema de Gauss-Markov: o MQO é o melhor estimador linear não viesado (BLUE). Normalidade do erro não é exigida por Gauss-Markov; ela sustenta a inferência exata em amostras pequenas.
Ajuste. SQT = SQE + SQR. R² = SQE/SQT, entre 0 e 1 com intercepto. Na regressão simples, R² é o quadrado da correlação entre x e y. R² alto não significa causalidade.
Inferência. t = β̂₁/ep(β̂₁). Com n observações, usa n − 2 graus de liberdade. A variância de β̂₁ cai com n e com maior variação de x, e sobe com a variância do erro.
Regra
Ver íntegra
Não viés depende de E[u | x] = 0. Homocedasticidade afeta eficiência e erros padrão, não o não viés.
Pontos-chave
- β̂₁ = Cov(x, y)/Var(x).
- Reta passa por (x̄, ȳ).
- Gauss-Markov não exige normalidade.
- Simples: R² = r².
- Graus de liberdade: n − 2.
Como a banca cobra
Exemplos autorais, no formato da banca.
- "A heterocedasticidade torna viesado o estimador de MQO dos coeficientes." → errado.
- "Na regressão simples com intercepto, os resíduos somam zero." → certo.
Referência
Mapa mental
MQO
- Minimiza soma de quadrados
- β̂₁ = Cov/Var
- Passa por médias
Hipóteses
- E[u|x] = 0: não viés
- Homocedasticidade: BLUE
- ⚠️ Normalidade não exigida
Ajuste
- SQT = SQE + SQR
- R² = r²
Inferência
- t: coeficiente/erro padrão
- n − 2 graus
Questão 1, Certo ou Errado
Em regressão simples estimada por MQO com intercepto, a reta ajustada passa pelo ponto formado pelas médias amostrais de x e y.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. Como β̂₀ = ȳ − β̂₁x̄, ao substituir x̄ na reta ajustada obtém-se exatamente ȳ; a reta de MQO com intercepto passa, por construção, pelo ponto das médias amostrais.
Questão 2, Certo ou Errado
A heterocedasticidade do erro, por si só, torna viesados os coeficientes estimados por MQO.
Revelar gabarito
Gabarito: Errado
Errado. A heterocedasticidade afeta eficiência e erros padrão, mas não o não viés, que depende da média condicional zero do erro, E[u | x] = 0.
Questão 3, Certo ou Errado
O teorema de Gauss-Markov exige que os erros tenham distribuição normal.
Revelar gabarito
Gabarito: Errado
Errado. O teorema de Gauss-Markov exige linearidade, exogeneidade, homocedasticidade e ausência de autocorrelação, mas não normalidade; esta só sustenta a inferência exata em amostras pequenas.
Questão 4, Certo ou Errado
Em regressão simples com intercepto, o R² é igual ao quadrado do coeficiente de correlação amostral entre x e y.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. Na regressão simples com intercepto, o coeficiente de determinação R² = SQE/SQT coincide com o quadrado da correlação amostral entre x e y, propriedade que não se estende à regressão múltipla.
Questão 5, Certo ou Errado
Mantidos os demais fatores, maior variação amostral de x reduz a variância do estimador da inclinação.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. Como Var(β̂₁) = σ²/Σ(xᵢ − x̄)², maior variação de x aumenta o denominador e reduz a variância do estimador da inclinação, o que torna a estimativa mais precisa.
- Revelar resposta
Inclinação por MQO
β̂₁ = Cov(x, y)/Var(x).
- Revelar resposta
Condição para não viés
E[u | x] = 0, entre as hipóteses clássicas.
- Revelar resposta
Gauss-Markov
Sob as hipóteses, MQO é BLUE.
- Revelar resposta
R² na regressão simples
Quadrado da correlação entre x e y.
- Revelar resposta
Graus de liberdade na simples
n − 2.
- Revelar resposta
Estimadores MQO
β̂₁ = Cov(x,y)/Var(x); β̂₀ = ȳ − β̂₁x̄.
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