Processos estocásticos

Processo estocástico. É uma família de variáveis aleatórias indexadas pelo tempo. O tempo e o espaço de estados podem ser discretos ou contínuos.

Cadeia de Markov. O futuro depende do passado apenas pelo estado atual. A matriz de transição P tem linhas somando 1. Uma distribuição estacionária satisfaz πP = π. Se a cadeia finita é irredutível e aperiódica, ela converge para uma distribuição estacionária única.

Martingale. E[Xₜ₊₁ | informação até t] = Xₜ. O melhor previsor do próximo valor é o valor atual; isso descreve um jogo justo. O passeio aleatório simétrico é martingale. Martingale não é a mesma coisa que processo de Markov: cada propriedade pode existir sem a outra.

Processo de Poisson. Conta eventos com incrementos independentes. O número de eventos em intervalo de duração t é Poisson(λt), e os tempos entre eventos são exponenciais de média 1/λ.

Movimento browniano. W₀ = 0, incrementos independentes, Wₜ − Wₛ ~ N(0, t − s) e trajetórias contínuas. As trajetórias são, com probabilidade 1, não diferenciáveis em ponto algum. A variação quadrática em [0, t] é t.

Browniano geométrico e Itô. dS = μS dt + σS dW mantém S positivo e dá retornos logarítmicos normais. O lema de Itô inclui o termo de segunda ordem ½σ²S²f″ dt, que não aparece no cálculo ordinário.