Regressão múltipla e seus problemas

Modelo. y = β₀ + β₁x₁ + … + βₖxₖ + u. Cada coeficiente mede o efeito parcial de sua variável, mantidas constantes as demais incluídas. Pelo teorema de Frisch-Waugh, equivale a regredir y sobre a parte de xⱼ não explicada pelas outras.

Ajuste. O R² nunca cai ao incluir regressor. O R² ajustado penaliza a perda de graus de liberdade e pode cair.

Testes. O t testa um coeficiente, com n − k − 1 graus de liberdade. O F testa restrições conjuntas, e um conjunto pode ser significante sem que cada coeficiente individual o seja.

Viés de variável omitida. Ocorre quando a variável omitida afeta y e é correlacionada com o regressor incluído. O sinal do viés é o produto do efeito da omitida em y pela correlação com o regressor.

Multicolinearidade. A perfeita impede a estimação, como na armadilha de incluir todas as dummies de uma categoria com intercepto. A imperfeita não gera viés, mas infla as variâncias; o fator VIF é 1/(1 − Rⱼ²).

Heterocedasticidade. Mantém o não viés, porém invalida os erros padrão usuais. Detecta-se com Breusch-Pagan ou White e corrige-se com erros robustos ou mínimos quadrados ponderados.

Formas funcionais. Em log-log, o coeficiente é elasticidade. Em log-nível, 100β aproxima a variação percentual em y por unidade de x. Em nível-log, β/100 é a variação em y para 1% de x.