Estimação pontual e intervalos de confiança

Estimador. É uma regra calculada com a amostra; a estimativa é seu valor observado. Propriedades: não viés, E[θ̂] = θ; eficiência, menor variância entre os não viesados; consistência, convergência em probabilidade para θ quando n cresce. O erro quadrático médio soma variância e viés ao quadrado: EQM = Var(θ̂) + viés². Um estimador viesado pode ter EQM menor que um não viesado, e pode ser consistente.

Métodos. O método dos momentos iguala momentos amostrais e populacionais. A máxima verossimilhança escolhe o parâmetro que maximiza a probabilidade dos dados observados; sob condições de regularidade, é consistente, assintoticamente normal e invariante. A desigualdade de Cramér-Rao dá o limite inferior da variância de estimadores não viesados.

Variância amostral. s² com divisor n − 1 é não viesado para σ². O divisor n gera viés para baixo, embora o estimador continue consistente.

Intervalo de confiança. Com σ conhecido, ou em amostra grande: X̄ ± z·σ/√n. Com σ desconhecido e população normal: X̄ ± t·s/√n, com n − 1 graus de liberdade. O intervalo alarga com mais confiança ou mais dispersão e estreita com n maior: para reduzir a amplitude à metade, n precisa quadruplicar.

Interpretação. A confiança de 95% refere-se ao procedimento: em repetições, cerca de 95% dos intervalos conteriam o parâmetro. O parâmetro é fixo; o intervalo é aleatório.