Questões de Processos estocásticos

Certo. É a propriedade de Markov: dado o estado atual, a distribuição do próximo estado não depende do restante do passado, de modo que o futuro se liga à história apenas pelo presente.

Errado. No processo de Poisson com taxa λ, os tempos entre eventos consecutivos seguem distribuição exponencial de média 1/λ, e não distribuição normal, como afirma o item.

Certo. É propriedade definidora do movimento browniano padrão: com t > s, o incremento Wₜ − Wₛ tem distribuição normal de média zero e variância igual à duração t − s.

Errado. As trajetórias do movimento browniano são contínuas, mas, com probabilidade 1, não são diferenciáveis em ponto algum; o item erra ao afirmar a diferenciabilidade.

Certo. Por definição, em um martingale E[Xₜ₊₁ | informação até t] = Xₜ; o melhor previsor do próximo valor é o valor atual, o que descreve a ideia de jogo justo.

Certo. Cada linha da matriz de transição P contém as probabilidades de sair de um estado para todos os demais; como é uma distribuição de probabilidade, a linha soma 1.

Certo. Por definição, a distribuição estacionária π não muda ao aplicar a matriz de transição, o que se escreve como πP = π, equação usada para encontrar a distribuição de equilíbrio da cadeia.

Errado. A convergência para uma distribuição estacionária única exige cadeia finita irredutível e aperiódica; cadeia redutível ou periódica não atende às condições desse resultado.

Certo. No passeio aleatório simétrico, o incremento esperado é zero; assim, a esperança do valor seguinte, dada a informação, é o valor atual, o que caracteriza um martingale.

Errado. Martingale e processo de Markov são propriedades distintas, e cada uma pode existir sem a outra; ser markoviano não implica, portanto, ser martingale.

Certo. No processo de Poisson, o número de eventos em intervalo de duração t segue Poisson(λt), com média λt; assim, com λ = 2 e t = 3, o número esperado é 6.

Errado. Com taxa de 2 eventos por hora, o tempo médio entre eventos é 1/λ, ou 0,5 hora; o valor de 2 horas confunde a taxa com sua recíproca.

Certo. A variância do incremento browniano é igual à duração do intervalo; para W₅ − W₂, a duração é 5 − 2 = 3, que é a variância apontada no item.

Certo. O lema de Itô inclui o termo de segunda ordem ½σ²S²f″ dt, que decorre da variação quadrática do browniano e não aparece no cálculo ordinário.

Errado. O browniano geométrico, dS = μS dt + σS dW, mantém S positivo e gera retornos logarítmicos normais; o processo não assume valores negativos, ao contrário do que afirma o item.